卡瓦列利

意大利数学家

卡瓦列利（Cavalieri，Francesco Bonaventura，1598～1647）是意大利著名的数学家，1598年生于米兰。1629年，大科学家伽利略向波伦亚大学推荐卡瓦列利为数学教授。与此同时，卡瓦列利又将自己的《几何学》手稿和一本论圆锥曲线及其在光学上的应用的小册子呈送给主选官，以证明自己能够胜任此职。果然不出所料，在众多申请求职者中，卡瓦列利获波伦亚大学首任教授之职。从此，他在波伦亚大学从事教学和研究工作，直到1647年去世，他共出版11部著作，其中包括著名的《几何学》，《一百个不同的问题》等等。

成就及荣誉

在世界数学史上，卡瓦列利主要以他的不可分量方法而闻名于世。这个方法认为，线是由无穷多个点构成的，面是由无穷多条线构成的，体则是由无穷多个面构成的。点、线、面分别就是线、面、体的不可分量。卡瓦列利通过对比较两个平面或立体图形的不可分量之间的关系来获得这两个平面或立体图形的面积或体积之间的关系，这就是著名的卡瓦列利定理：夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条直线的任意直线所截，如果所得的两条截线长度相等，那么这两个平面图形的面积相等；夹在两个平行平面之间的两个立体图形，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果所得的两个截面的面积相等，那么这两个立体图形的体积相等。这个定理在中国被称为“祖暅原理”，它的后半部分与南北朝著名数学家祖暅在计算球体积时所提出的“缘幂势既同，则积不容异”的论断是一致的。卡瓦列利运用上述原理求得了许多平面图形的面积和立体图形的体积，是目前中学立体几何教材求几何体积的基本雏形。卡瓦列利还利用不可分量方法证明了相当于我们今天见到的幂函数定积分的公式，以及吉尔丁定理：一个平面图形绕某一轴旋转所得立体图形体积等于该平面图形的重心所形成的圆的周长与平面图形面积的乘积。

社会评价

卡瓦列利的不可分量法在当时虽然缺乏科学论证，但利用它却能迅速而正确地获得前人未能获得的结果。正如数学史家史密斯所说：“仅从数学角度来看，17世纪对科学影响最大的意大利数学家就是卡瓦列利。”可惜的是他英年早逝，49岁就与世长辞。

人物生平

卡瓦列利(Bonaventura Cavalieri)1598年出生于米兰，十五岁成为耶稣会修士，就学于伽利略，从1629年起直到1647年四十九岁逝世，是波洛尼亚大学的数学教授。他是他那个时代最有影响的数学家之一，并且写了许多关于数学、光学和天文学的著作。最先把对数引进意大利的多半是他。但是他最伟大的贡献是1635年发表的一篇阐述不可分元法(method of indivisibles)的论文：《不可分元几何》，虽然这方法可以追溯到德谟克利特(大约公元前410年)和阿基米得(大约公元前287—212年)；也许开普勒在求某些面积和体积上的努力对卡瓦列利有直接的启发。

个人作品

卡瓦列利的论文写得啰嗦、不清楚，难于明确地知道所谓“不可分元”(indivisible)是什么？一个给定的平面片的一个“不可分元”似乎是指该片的一个弦；一个给定的立体的一个“不可分元”指的是该立体的一个平面截面。一个平面片被当作由平行弦的一个无限集合组成，一个立体被当作由平行的平面截面的一个无限集合组成。卡瓦列利然后说：如果我们使一些给定的平面片的平行弦的集合中的每一个元素沿着它自己的轴滑动，使得这些弦的端点仍然描出一个连续的边界，则这样形成的新的平面片的面积和原平面片的面积一样。一个给定立体的平面截面作类似的滑动，生成为与原立体的同样体积的另一个立体。(此最后结果可依下述方法给出引人注目的例证说明，即：取竖放的一堆厚纸板，然后，令这堆的边成为曲面，则此重摆的堆的体积与原来的堆的体积一样。)这些结论，略加推广，就给出所谓卡瓦列利原理：

1．如果两个平面片处于两条平行线之间，并且平行于这两条平行线的任何直线与这两个平面片相交，所截二线段长度相等，则这两个平面片的面积相等。

2．如果两个立体处于两个平行平面之间，并且平行于这两个平面的任何平面与这两个立体相交，所得二截面面积相等，则这两个立体的体积相等。

卡瓦列利原理是计算面积和体积的有价值的工具；并且，其直观基础可用现代的积分学容易地给出．把这些原理当作直观显然的接受下来，我们就能解决许多通常需要高深得多的积分技术的量度问题。

让我们例证地说明卡瓦列利原理的用法：首先应用于求半轴长为a和b的椭圆的面积，这是平面情况；然后应用于半径为r的球的体积，这是立体情况。

考虑被置于同一个直角坐标系上的椭圆和圆

由此得出：椭圆和圆的对应的纵坐标之比为b/a。继而又得出：椭圆和圆的对应垂直弦之比也是b/a；并且，根据卡瓦列利第一原理，椭圆和圆的面积之比也是b/a。我们的结论是：

这基本上是刻卜勒求半轴长为a和b的椭圆面积之程序。

现在让我们来求半径为r的球的体积的熟悉公式。在右图中，左边有一个半径为R的半球；右边是半径为R，高为R的一个圆柱和以圆柱的上底为底，以圆柱的下底中心为顶点的圆锥。把半球和挖出圆锥的圆柱放在共同平面上，然后，用平行于底面、与底面距离为h的平面截两个立体。此平面截一个立体呈圆形截面，并截另一个立体呈现环形截面。用初等几何不难证明：这两个截面的面积都等于π(R2-h2)．根据卡瓦列利原理可知：两个立体有相等的体积。所以，球体的体积为：V=(4/3)πR3

假定卡瓦列利原理成立并始终如一地使用它，可以简化在中学立体几何课程中遇到的许多公式的推导．此程序已被许多教材作者采用，并且在教学法的立场上受到了人们的拥护。例如，在推导四面形的体积的熟悉公式(V=Bh/3)的过程中，讨厌的是：首先要证明：有等底且在这些底上有等高的两个四面形有相等的体积。在这里，反映出从欧几里得《原本》开始，立体几何所有论述中的固有困难。然而，用上卡瓦列利的第二原理，这困难就消失了。

个人其它信息

卡瓦列利的不可分元的模糊概念，有点像图形的微小部分，引起了相当多的讨论，并且受到此课题的一些研究者、尤其是瑞士的金匠和数学家古尔丹(Paul Guldin，1577—1642)的严厉批评。卡瓦列利试图彻底改造他的论述来应付这些异议，未获成功。法国数学家罗伯瓦熟练地掌握了此方法，并且宣称是此概念的一个独立发明者，托里拆利、费尔马、帕斯卡、圣文森特、巴罗及其他人有效地使用了不可分元方法或某种和它很相似的方法。在这些人工作的过程中，得到了与xn，sinθ，sin2θ和θsinθ等表达式的积分等价的结果。

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