斐波那契—卢卡斯数列

数学术语

斐波那契数列1，1，2，3，5，8…，和卢卡斯数列1，3，4，7，11，18…，具有相同的性质：从第三项开始，每一项都等于前两项之和，我们称之为斐波那契—卢卡斯递推。凡符合斐波那契—卢卡斯递推的数列就称为斐波那契—卢卡斯数列。

定义

一般地，符合f(n) = f(n-1)+ f(n-2)，f(n-2)=f(n)- f(n-1)的整数数列f(n)，都是斐波那契—卢卡斯数列。

为区别不同的斐波那契—卢卡斯数列，我们根据前两项来标定斐波那契—卢卡斯数列，如

斐波那契数列：F[1,1]；

卢卡斯数列：F[1,3]；

数列1，4，5，9.，14，23…：F[1,4]；

特别地，常数数列0，0，0…：F[0,0]，作为下述斐波那契—卢卡斯数列群的单位元素。

斐波那契—卢卡斯数列群

任意两个或两个以上斐波那契—卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契—卢卡斯数列。

性质

一些等式

f(n+1)+f(n+2)=f(n+3)*1

f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+6)=f(n+5)*4

f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+10)=f(n+7)*11

f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+14)=f(n+9)*29

f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+18)=f(n+11)*76

注意：1，4，11，29，76，…是卢卡斯数列的奇数项。

黄金特征

每一项的平方数与前后两项之积的差的绝对值是一个恒值，称为黄金特征。

斐波那契数列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=…=1

卢卡斯数列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5

F[1，4]数列：|4*4-1*5|=|5*5-4*9|=…=11

F[2，5]数列：|5*5-2*7|=|7*7-5*12|=…=11

F[2，7]数列：|7*7-2*9|=|9*9-7*16|=…=31

斐波那契数列的黄金特征1最小，也就是前后项之比接近黄金比例最快，我们称为黄金特征，黄金特征1的数列只有斐波那契数列，是独生数列。卢卡斯数列的黄金特征是5，也是独生数列。前两项互质的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。而F[1，4]数列和F[2，5]数列的黄金特征是11，黄金特征31的数列除了F[2，7]外，还有F[3，8]，其他前两项互质的斐波那契—卢卡斯数列都是成对出现的，他们都是：

孪生斐波那契—卢卡斯数列

利用f(n-2)= f(n)- f(n-1)，写出前面的项，如下表：

我们发现：斐波那契—卢卡斯数列与分数对应：

F[1，1]的正负项绝对值相等，第0项为0，对应于整数。

F[1，3]的正负项绝对值也相等，第0项为2，第1项为1，对应于分数1/2。

而F[1，4]的正项绝对值与F[2，5]的负项绝对值相等，F[2，5]的正项绝对值与F[1，4]的负项绝对值相等，而且，他们的第0项都是3，第1项分别是1和2，所以他们对应互补的分数1/3和2/3，这样的数列就是孪生斐波那契—卢卡斯数列。每一对互补的分数(如1/4和3/4，1/5和4/5，2/5和3/5，或2/6和4/6等等)都对应一对孪生斐波那契—卢卡斯数列。

黄金阵列

经过对斐波那契—卢卡斯数列和黄金特征、黄金比例的研究，我把正整数排列为如下的黄金阵列：

第一排，斐波那契数列，1，2，3，5，8.…

第二排，最小缺4，4*1.618取整6——4，6，10，16…

第三排，最小缺7，7*1.618取整11——7，11，18，29…

以此类推。

第1列的经验公式：[(2n-1)(√5+3)/4+0.5]的整数部分。

黄金阵列具有以下性质：

(1)各斐波那契—卢卡斯数列都出现一次（常数数列0，0，0…除外）

(2)每一个同一列的数，与黄金比例之积，与整数的距离在同一个范围内。

(3)每一个正整数在黄金阵列中都有一个确定的位置。

如100在第24行第2列，记为Φ(24,2).