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卷积同态变换

通信术语

卷积同态系统(homomorphic system for convolu­tion) 输入信号组合和输出信号组合均为卷积运算，并且服从广义叠加定理的同态系统。

定义
卷积同态系统的基本原理是：设由离散卷积组成的信号序列为图1：
则其特征系D．应具有将信号的卷积运算变换为加法运算的特性，即应有图2：
可以知道Z变换和对数运算的结合具有上述性质图3
因此，输入和输出的信号组合均为卷积运算的典型同态系统可以表示为图(a)，其中特征系统D。表示为图(b），逆特征系统表示为图(4)。
在特征系统D．中，输出为信号序列z变换对数的逆z变换图5
称为信号序列x(n)的复倒谱(cepstrum)。适当选取图（a）中的线性滤波器L，可以把两个复倒谱分开。一般两个复倒谱位于n(时间）轴上不同区域，因此，所选线性系统L可以是一个窗函数。例如，从x(n)中提取x1(n)，可以选线性滤波器l(n)，使得图6或图7
其中与L(e)l（n）的z变换。整个同态系统的输出为图8
卷积同态系统用于数字信号处理解卷积以恢复有用信号。例如，在多径信道或混响环境中进行通信或录音时，可以采用同态滤波从被干扰或含噪信号中提取有用信号。卷积同态系统的重要应用之一是在数字语声信号处理中，分离声道冲激响应和声门激励信号，以及构成同态声码器。
同态系统
同态系统(homomorphic system) 通过非线性变换将非线性组合信号变换为线性组合，便于进行线性处理的一类系统的总称。在数字信号处理的应用中，经常遇到所处理的信号不是线性组合的，而是非线性组合的，例如，数字回波抵消、数字语声处理、数字图像恢复等应用中，所处理的信号都是卷积性组合的信号；在数字图像增强应用中所处理的含噪信号则是乘积性组合的信号。对于这类不属于叠加性组合的信号，如果用线性滤波处理是不能奏效的。因此必须应用同态系统这一类特殊的、也是最先应用的非线性系统，对它们进行处理。对于线性系统，如果T〔·〕表示线性变换，那么，按叠加定理，对于任意两个输入x1(n)和x2(n)以及常数C有如下运算规则图9和图10
在同态系统中，为了推广叠加定理，用符号□表示系统的输入组合的运算规则(例如：加法、乘法、卷积符号，表示输入与常数的运算规则；符号〇表示系统输出组合的运算规则，输出与常数的运算规则；用H〔·〕表示系统变换。那么，我们可以推广线性系统的运算规则如下式图11：
也就是说，这种系统服从关于输入运算□和输出运算〇的类似叠加定理的一种法则。因为它是非线性系统而推广应用了线性系统运算的叠加定理法则，故称之为服从广义叠加定理的非线性系统，也即同态系统，或称广义线性系统。图（a）表示这一系统。
如果系统的输入和输出解释为矢量空间中的矢量，运算规则□和〇对应于矢量加法，对应于常数乘法，则系统变换H〔·〕就是代数上从输入矢量空间到输出矢量空间的一种线性变换，称为同态变换图12。
同态系统还可以用图（b）所示的三个系统级联来表示。这种级联结构称为同态系统的典型表示。其中，第一个系统D□服从输入为□运算和输出为+运算的广义叠加定理图13：
系统D□的作用是将按□运算规则组合的信号x1(n)和x2(n)，变换成一般线性组合的D□〔x1（n）〕和D□〔x2（n）。由于系统D□是由运算□和：确定的，故称为运算□的特征系统，第二个系统L是一般线性系统，故有图14
第三个系统将加法运算变换到〇运算，即图15
系统D0，是由运算〇确定的，称为运算〇的特征系统。
输入和输出具有相同运算的同态系统，可以通过 其线性部分L，把所规定运算组合的输入矢量分离。故亦称为同态滤波器。例如，若要求从信号中恢复x1（n），可选择一个合适的线性系统，使其输出，然后，令D〇=D□。
在信号处理的应用中，乘法同态系统和卷积同态系统是两类常见而又重要的服从广义叠加定理的非线性系统。它们都是输入和输出具有相同运算的同态系统。
乘法同态系统
乘法同态系统的基本原理是：设运算乘和取幂的组合信号为图19：则其乘法特征系统D0应具有将乘法运算变换为加法运算的特性，即应有图20：
可以知道，对数函数具有这样性质图21：
这里，X1（n）和X2（n）应是复数信号。这样，输入和输出信号组合均为乘法运算的典型同态系统，如图22所示。
输入和输出均为乘法运算的同态系统典型表示乘法同态系统典型应用之一是对图像信号的增强处理。图像信号的模型可以视为照度和反射率两个基本分量的乘积，对这些分量进行同态滤波，分别改变各个分量比例，就可以达到增加对比度和压缩动态范围的目的。
同态变换
如果系统的输入和输出解释为矢量空间中的矢量，运算规则□和〇对应于矢量加法，对应于常数乘法，则系统变换H〔·〕就是代数上从输入矢量空间到输出矢量空间的一种线性变换，称为同态变换。
同态滤波
利用广义叠加原理对同态系统进行滤波。
同态滤波是把频率过滤和灰度变换结合起来的一种图像处理方法，它依靠图像的照度/ 反射率模型作为频域处理的基础，利用压缩亮度范围和增强对比度来改善图像的质量。使用这种方法可以使图像处理符合人眼对于亮度响应的非线性特性，避免了直接对图像进行傅立叶变换处理的失真。
同态滤波的基本原理是：将像元灰度值看作是照度和反射率两个组份的产物。由于照度相对变化很小，可以看作是图像的低频成份，而反射率则是高频成份。通过分别处理照度和反射率对像元灰度值的影响，达到揭示阴影区细节特征的目的。
同态滤波处理的基本流程如下：
S(x,y)---->Log---->DFT---->频域滤波---->IDFT---->Exp---->T(x,y)
其中S(x,y)表示原始图像；T(x,y)表示处理后的图像；Log 代表对数运算；DFT 代表傅立叶变换（实际操作中运用快速傅立叶变换FFT）；IDFT 代表傅立叶逆变换（实际操作中运用快速傅立叶逆变换IFFT）；Exp 代表指数运算。
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