原子布尔代数

数学学科术语

原子布尔代数是一种特殊的布尔代数，设B是一个布尔代数，对于布尔代数B中每个非零元x，均存在某个原子a使a≤x成立，则称B为原子布尔代数。有限布尔代数皆为原子布尔代数，含有n个原子的有限布尔代数共有2n个元素。可以证明：每一个原子布尔代数同构于一个集合代数；而每一个完备的原子布尔代数同构于一个幂集代数，这是著名的斯通表示定理的一种较弱说法。

基本介绍

设b是布尔代数中的非零元，如果对于布尔代数中的任何元素x，只要x≤b就有x=b或x=0，则称b是一个原子。

【例1】在非空集合A的所有子集组成的布尔代数P(A)中，原子就是单元素集{x}，即仅由一个元素组成的集合。

如果一个布尔代数的每一个非零元x都有某个原子b满足b≤x，则称这个布尔代数为原子布尔代数，例1的布尔代数都是原子布尔代数。

相关定理

定理1 每一个有穷布尔代数都是原子布尔代数。

证明：给定该代数的一个非零元x0，假设没有原子b满足b≤x0，则特别的，x0不是原子，因此有某一个非零元x1使x1≤x0且x1≠x0，即0x1>x2>…。易知这个序列的所有各项是不同的，这与该代数仅有有穷个元素的事实相矛盾。

给定布尔代数B中的一个元素x，我们定义Ψ(x)为B中所有满足b≤x的原子b所成的集合，显然，Ψ(0)=∅，Ψ(1)是B中所有原子的集合。

引理2 在原子布尔代数B中，Ψ是1-1映射(即如果x≠y，则Ψ(x)≠Ψ(y))。

证明：假设x≠y，则xy或yx，比如说xy，这样x∧y'≠0，因B是原子的，故存在一个原子b≤x∧y'，从而b≤x，所以b∈Ψ(x)，但是b≤y'，故b∉Ψ(y)(因为如果b≤y则b≤y∧y'=0，与b≠0矛盾)，所以Ψ(x)≠Ψ(y)。

定理3 含有n个原子的有穷布尔代数B有2n个元素。

证明：把B中所有原子的集合记为A。

由定理1，B=是原子布尔代数，由引理2，Ψ是从B到P(A)(A的所有子集的集合)中的1-1映射，现在令C是A的任一子集，因为B是有穷的，所以A是有穷的，C也是有穷的，如此可设C=(b1，...，bk)，令x=b1∨…∨bk，则Ψ(x)={b1，...，bk)=C(因为对所有i，bi≤b1∨…∨bk=x，故C∈Ψ(x)，另一方面，如果b∈Ψ(x)，则b≤x=b1∨…∨bk，因此b=b∧x=b∧(b1∨…∨bk)；(b∧b1)∨…∨(b∧bk)，如果b不同于所有的bi，则每个b∧bi=0，我们将有b=0∨…∨0=0，这是不可能的，如此，对某个i，b=b，即Ψ(x)⊆C)。这就证明了Ψ是B和集合P(A)之间的1-1对应，因A有n个元素，P(A)有2n个元素，因此B也必有2n个元素。

对于映射Ψ，我们还有下面的定理。

定理4 如果B是一个原子布尔代数，则Ψ是从B到布尔代数P(A)中的同构。如果B是有穷布尔代数，则Ψ是从B到P(A)上的同构。

推论5 任意两个元素个数相同的有穷布尔代数是同构的。

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