参数化绘图

数学术语

程序参数化绘图的基本原理是以图形的坐标值为变量，用一组参数来约定图形的尺寸关系（称这组参数为尺寸约束参数），根据图形顶点的连接关系，可方便地确定变量和尺寸约束参数之间的数学关系。

参数化绘图概述

传统的交互绘图软件系统都用固定的尺寸值定义几何元素，输人的每一条线都有确定的坐标位置。若图形的尺寸有变动，则必须删除原图重画。而在机械产品中系列化的产品占有相当比重。对系列化的机械产品，其零件的结构形状基本相同，仅尺寸不同，若采用交互绘图，则对系列产品中的每一种产品均需重新绘制，重复绘制的工作量极大。参数化绘图适用于结构形状比较定型，并可以用一组参数来约定尺寸关系的系列化或标准化的图形绘制。参数化绘图有两大类型：程序参数化和交互参数化绘图。

程序参数化绘图

对于图3．5所示的简单实例，按四顶点道时针有序排列的连接，可以方便地列出四顶点坐标值和尺寸约束参数 a、 b之间的数学关系式： xl=x4， y1= y2， x2=x3，y3= y4，x2= xl+ a， y3= yl+ b，当求得各顶点坐标值后，根据顶点之间连接边的几何元素类型就可方便地绘出图形。

程序参数化绘图的实质，就是把图形信息记录在程序中，用一组变量定义尺寸约束参数，用赋值语句了表达图形变量和尺寸约束参数的关系式，并调用一系列的绘图命令绘制图形。在运行时，只需输人尺寸约。束参数，就可以自动地绘制一幅符合结构形状的图形。但是，程序参数化绘图需要编制相应的程序，编程工作量大、柔性差、直观性差，实际应用受到一定限制。

交互参数化绘图

交互参数化绘图是80年代中期发展起来，其特点是使用者面向屏幕，采用交互方式在屏幕上绘制图形的草图，再标注上正确的尺寸（或设定尺寸代码）就可以根据所标注的尺寸值（或称尺寸约束参数）的赋值自动地生成一幅符合尺寸要求的工程图。这种方法直观、方便、不需编制程序，是颇有发展前景的CAD技术之一。

实现交互参数化绘图方法较多，如数学求解法、作图规则匹配法、几何作图局部求解法等。为简要地说明交互参数化绘图求解方法，在此以数学求解法为例予以说明。

数学求解法是通过建立图形的设计变量（顶点坐标值）和尺寸约束参数之间的数学模型，借助于求解线性或非线性方程组的算法，来确定变量值。

变量和约束参数的数学模型

f（X，D）=0

式中，X=（x1y1Z1， x2y2Z2，…，xn yn zn），n为顶点数；D为尺寸约束向量，D=（ dl，d2，…，dm），m为尺寸约束数。

通过求解方程组求得X，根据X和顶点之间的连接关系，就可方便地确定受D所约束的唯一图形。

对于交互参数绘图系统，图形顶点之间的连接关系是记录在输人图形的数据结构中。可见图形的生成，是决定于尺寸约束，即由尺寸驱动图形，当尺寸变动时图形也随之变动。因此，其基本原理类似于变量几何学（Variational Geometry）。若在约束参数中再引人结构约束，（如两条线平行、两条线垂直、竖线是垂直平面、横线是水平面等），并将这些约束关系也写入D的向量矩阵，则通过求解可确定唯一的图形，这种方法称为变量设计。它对设计对象修改的自由度大，用户只需输人图形的草图，也就是在输人时不需考虑图形的正确尺寸和正确的结构形状，如矩形在草图输人时可以是一个任意四边形，只需设置图形的结构约束和尺寸约束后就可生成一幅正确的图形。

总结

由于实际产品的结构形状的复杂性，f （X， D）的方程组通常呈非线性，所以需采用求解非线性方程组的算法求解，如牛顿一拉甫森法或最小二乘法。这类算法对初值要求严格，如尺寸值变动量大，会导致算法失效；若变量数多，算法效率低，则交互式参数绘图会失去实时响应的效果，影响其实用性。参数化和变量化设计不仅在计算机辅助绘图方面得到广泛应用，也成为CAD三维建模技术中的一项重要技术。

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