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双同态

数学术语

双同态(bihomomorphism)是一种特殊的同态。指双模之间的同态。设G与G’是两个群，如果有一个由G到G’的映射σ，使σ (ab)=σ(a)σ(b)对所有的a，b∈G都成立，那么就说G同态于G’，记作G～G’。适合上述条件的映射叫做同态映射(或简称同态)。群G到自身的同态叫做自同态。

概念
双同态(bihomomorphism)是一种特殊的同态。指双模之间的同态。设有(A，B)双模M和N，若f是加群M到N的映射，并且f是A同态同时又是B同态，则称f是(A，B)双模M到N的一个双同态。
同态
设E与F为两个群胚，它们的合成法则分别记为⊥与⊤。 称从E到F中的映射f是群胚同态，如果对于E的任一元素偶(x，y)，有：
设E与F为两个幺半群(两个群)，称从E到F中的映射。f是幺半群(群)的同态，如果f是群胚的同态，且E的中性元素的象是F的中性元素。 (在群的情况下，后一个条件是自然满足的，但是从加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x↦0是群胚的同态， 而并不因此就是幺半群的同态)。
设G为乘法群，而a为G的元素。由关系f(n)=an所定义的从加法群Z到G中的映射f是群的同态。
设A与B为两个环(两个体)，称从A到B中的映射f是环(体)的同态，如果f是加法群的同态，且为乘法么半群的同态. 这就是说，对A的任一元素偶(x，y)，有：
并且f将A的单位元变成B的单位元。
例如，设n为非零自然数；使任一有理整数对应其对模n的剩余类映射是从环Z到环Z/nZ上的同态。设E与F为两个A-代数(两个酉A-代数)。称从E到F中的映射f是A-代数(酉A-代数)的同态，如果它是线性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同态。
例如，设E为交换体K上的非零有限n维向量空间，而B为E的基。则从E的全体自同态之酉代数ℒ(E)到K中元素构成的全体n阶方阵之酉代数Mn (K)中的映射，如果该映射使E的任一自同态对应它在基B中的矩阵，则这一映射是酉代数的同态。
同态的概念能用抽象的方式加以推广。
模
一个重要的代数系统。它是一个带算子区A的交换(加)群M。给定集合A与交换群M，若定义了a∈A与x∈M的乘积ax∈M，并且这个积满足条件：
1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，
则称A为M的算子区，称M为带算子区A的模，又称为A上的模或A模。这时，由对应(a，x)→ax确定的映射A×M→M，称为A作用到M上的运算。任意a∈A可诱导出M的自同态aM：x→ax，而考虑交换群M能否成为A模就是看能否给出映射：μ： A→End(M)，　a→aM。
特别地，考虑A是结合环，若满足上述条件1的A模还满足：
2.(a+b)x=ax+bx;
3.(ab)x=a(bx);
即映射μ：A→End(M)为环同态，则称M为左A模或左环模。由于A到M上的运算是写在左侧，所以M就称为左A模，记为AM。类似地，有右A模M，记为MA.若A有单位元1，且又满足条件：
4.1x=x (x∈M);
则称M为酉模或幺模。
双模
一类重要的模。指带有两个算子环的模。设A，B是环，M是A模又是B模，若用A的元素去作用(乘M的任一元)，与用B的元素一起去作用时其顺序是可换的，则称M是(A，B)双模。例如，若M是左A模，右B模，并且还满足：
(ax)b=a(xb)，　a∈A ，b∈B，x∈M，
则M为左A右B双模，记为AMB。任意左A模M都可作为左A右Z双模，又可作为左A右EndAM双模。
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