双曲余弦函数

数学术语

双曲余弦函数是双曲函数的一种。三角函数分正弦sin、余弦cos、正切tan、余切cot、正割sec、余割csc六种。那么，类似的，双曲函数也分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割六种。双曲余弦函数也是其中一种。双曲余弦函数记作cosh，也可简写为ch。

函数定义

从原点发出的射线与单位双曲线（方程：）相交于点（cosh a,sinh a)。这里的a为射线、双曲线和x轴围成的面积的两倍。对于双曲线上位于x轴下方的点，这个面积被认为是负值。其中，cosh a就是a的双曲余弦函数。

经过复杂的计算可以推出：。

函数性质

定义域与值域

双曲余弦函数的定义域为。值域为[1, )。当x=0时，取到最小值1。

奇偶性

双曲余弦函数在定义域内是偶函数。可以证明。

取x的负值。又得：

根据加法交换律，可得出。根据偶函数的定义，可知该函数是偶函数。它关于y轴对称。

单调性

双曲余弦函数y=cosh x，在区间内它是单调减少的，在区间内它是单调增加的。cosh 0=1是该函数的最小值。

可以用导数证明。

由于分母是永远大于0的，而分子中也是永远大于0。只有在x=0时是等于0。在x<0时。 <0。在x>0时。 >0。得出当x<0时，双曲余弦函数的导数永远小于0。当x>0时，双曲余弦函数的导数永远大于0。那么它在内单调递减的，在内单调递增。在x=0时，最小值为1。无最大值。

周期性

无论是双曲余弦函数y=cosh x，还是双曲正弦函数y=sinh x、双曲正切函数y=tanh x，它们都不是周期函数。

凹凸性

由于

那么双曲余弦函数的二阶导数为

可见双曲余弦函数的二阶导数是它本身。而双曲余弦函数的值域是[1, )。那么双曲余弦函数的二阶导数在实数集R上恒大于0。

而根据函数凹凸性的判定方法（定理）：

设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内具有一阶导数和二阶导数，那么：

（1）若在（a,b）内，，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。

（2）若在（a,b）内，，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

根据上面的函数凹凸性判断定理。得出那么无论是在那个单调区间，双曲余弦函数都是凹函数

应用领域

导数

双曲余弦函数的导数是双曲正弦函数。即

也可以转化为

不定积分

其中，C为常数。可见，双曲余弦函数的不定积分，除去常数C，也是双曲正弦函数。

另有公式 (这里，大写的C为常数）

另外，关于双曲余弦函数还有如下的公式：

(其中，C为任意常数）

泰勒展开式

双曲余弦函数的泰勒展开式为：

即：

反函数

双曲余弦函数的反函数是反双曲余弦函数。它记作arcoshx。根据反函数的定义，它的定义原本应该是：

其中，x满足条件：。

反双曲余弦函数的图像原本有x轴上方的一支和x轴下方的一支。即且这两支关于x轴对称。但是，这样子会造成一个自变量x对应两个函数值，不符合函数的定义。

为了符合函数的定义，一般取x轴上方的那一支。因而得到了反双曲余弦函数的定义式。

双曲余弦的反函数，即反双曲余弦函数y=arcoshx的定义域为[ ),它在区间[ )上是单调增加的。

函数图像

如上图。它是一条有点像抛物线（二次）但不是抛物线的曲线。因这条曲线与两端固定的绳子（或铁链）在均匀引力作用下下垂相似。这条曲线称作悬链线。悬链线就是双曲余弦函数的图像。

悬链线的数学表达式为。其中，a为常数。当a=1时，所得的函数（图像）正好是双曲余弦函数（图像）。