反卷积

信号处理中一类基本问题

在数学中，反卷积是一种基于算法的过程，用于反转卷积对记录数据的影响。反卷积的概念广泛用于信号处理和图像处理技术。由于这些技术反过来在许多科学和工程学科中广泛使用，因此反卷积可以应用到许多领域。

简介

反卷积是信号处理中一类基本问题,广泛应用于信道均衡、图像恢复、地震学、无损探伤等领域,也可应用于未知输入估计和故障辨识问题。

一般来说，反卷积的目的是找到一个形式的卷积方程的解：

通常，是一些记录的信号，f是我们希望恢复的一些信号，但是在我们记录它之前已经与其他一些信号卷积。函数可以表示仪器的传递函数或应用于物理系统的驱动力。如果我们知道或者至少知道的形式，那么我们可以执行确定性反卷积。但是，如果我们不知道，那么我们需要估计它。这通常是使用统计估计方法完成的。

在物理测量中，通常更接近：

在这种情况下是进入我们记录的信号的噪声。如果我们假设当我们尝试对进行统计估计时噪声信号或图像是无噪声的，那么我们的估计将是不正确的。反过来，我们对f的估计也是不正确的。信噪比越低，我们对解卷积信号的估计就越差。这就是信号逆滤波通常不是一个好的解决方案的原因。但是，如果我们至少有一些关于数据中噪声类型的知识（例如，白噪声），我们可能能够通过诸如维纳解卷积等技术来改进对f的估计。

反卷积通常是通过计算记录信号h的傅里叶变换和传递函数，在频域中应用解卷积来实现的，在没有噪声的情况下这仅仅是：

，和分别是，和的傅里叶变换。最后进行逆傅里叶变换F以找到估计的解卷积信号f。

反卷积和时间序列分析的基础很大程度上由麻省理工学院的诺伯特·维纳在他的书“外推，插值和平稳时间序列的平滑”（1949）中确定的。这本书是根据维纳在第二次世界大战期间所做的工作制作的，但那时是保密的。应用这些理论的一些早期尝试是在天气预报和经济学领域。

反卷积的应用

地震学

反卷积概念在反射地震学中早有应用。 1950年，恩德斯罗宾逊是麻省理工学院的研究生。他与麻省理工学院的其他人一起工作，如诺伯特维纳，诺曼莱文森和经济学家保罗萨缪尔森，以开发反射地震记录的“卷积模型”。该模型假设记录的地震图是来自点源的地球反射率函数和地震子波的卷积，其中t表示记录时间。因此，我们的卷积方程是

地震学家对非常感兴趣，其中包含有关地球结构的信息。通过卷积定理，该方程可以被傅里叶变换为

在频域, 通过假设反射率为白色，我们可以假设反射率的功率谱是恒定的，并且地震图的功率谱是小波的频谱乘以该常数。从而，

如果我们假设小波是最小相位，我们可以通过计算我们刚发现的功率谱的最小相位等效来恢复它。反射率可以通过设计和应用维纳滤波器来恢复，该维纳滤波器将估计的小波形成为狄拉克德尔塔函数（即尖峰）。结果可能被看作是一系列缩放，移位的delta函数（尽管这在数学上并不严格）：

其中N是反射事件的数量，τiτi是每个事件的反射时间，r i是反射系数。

实际上，由于我们正在处理噪声，有限带宽，有限长度，离散采样的数据集，因此上述过程仅产生解卷积数据所需的滤波器的近似值。然而，通过将问题表述为Toeplitz矩阵的解和使用Levinson递归，我们可以相对快速地估计具有最小均方误差的滤波器。我们也可以直接在频域进行解卷积，并得到相似的结果。该技术与线性预测密切相关。

光学等影像

在光学和成像领域，术语“反卷积”专指用于反转在光学显微镜，电子显微镜，望远镜或其他成像仪器中发生的光学畸变的过程，从而创建更清晰的图像。它通常通过软件算法在数字领域完成，作为一套显微镜图像处理技术的一部分。反卷积对于锐化在捕捉过程中受到快速运动或抖动影响的图像也是实用的。早期的哈勃太空望远镜图像被一个有缺陷的镜子扭曲，并可能被解卷积锐化。

通常的方法是假定通过仪器的光学路径是光学理想的，与点扩散函数（PSF）卷积在一起，即数学函数，该数学函数描述光路理论点源（或其他波）通过仪器。通常，这样的点源对最终图像贡献了小范围的模糊性。如果可以确定这个函数，那么计算它的反函数或互补函数，并将获取的图像与其进行卷积。结果是原始的，未失真的图像。

在实践中，找到真正的PSF是不可能的，并且通常使用它的近似值，理论上计算或基于使用已知探针的一些实验估计。真实光学器件在不同的焦点和空间位置也可能具有不同的PSF，并且PSF可能是非线性的。 PSF逼近的准确性将决定最终结果。以更加计算密集的价格，可以采用不同的算法来提供更好的结果。由于原始卷积丢弃数据，一些算法使用附近焦点处获取的附加数据来弥补一些丢失的信息。迭代算法中的正则化（如期望最大化算法）可用于避免不切实际的解决方案。

当PSF未知时，可以通过系统地尝试不同的可能的PSF并评估图像是否改善来推断PSF。这个过程被称为盲解卷积。盲反卷积在天文学中是一种成熟的图像恢复技术，拍摄对象的点本质暴露了PSF，从而使其更加可行。它还用于荧光显微镜中的图像恢复，以及荧光光谱成像，用于多种未知荧光团的光谱分离。为此目的最常用的迭代算法是Richardson-Lucy反卷积算法; 维纳反卷积（和近似）是最常见的非迭代算法。

对于一些特定的成像系统，如激光脉冲太赫兹系统，PSF可以用数学方法进行建模。结果模拟PSF和太赫兹图像的反卷积可以给出太赫兹图像的更高分辨率表示。

射电天文学

在无线电干涉测量中进行图像合成时，一种特定类型的射电天文学，一步包括将产生的图像与“脏波束”解卷积，这是点扩散函数的不同名称。一种常用的方法是CLEAN算法。

傅里叶变换方面

反卷积映射到傅立叶共域中的划分。这使得反卷积可以很容易地应用于经受傅立叶变换的实验数据。一个例子是NMR谱，其中数据记录在时域中，但是在频域中进行分析。通过指数函数对时域数据进行划分具有减少频域中洛伦兹线宽度的效果。

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