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反双曲函数

双曲函数的反函数

反双曲函数是双曲函数的反函数。记为（arsinh、arcosh、artanh等等）。与反三角函数不同之处是它的前缀是ar意即area(面积)，而不是arc(弧)。因为双曲角是以双曲线、通过原点直线以及其对x轴的映射三者之间所夹面积定义的，而圆角是以弧长与半径的比值定义。

定义
我们知道，三角函数分为sin（正弦）、cos（余弦）、tan（正切）、cot（余切）、sec（正割）、csc（余割）六种。而双曲函数也如此。故而，反双曲函数也有六种。有反双曲正弦、反双曲余弦、反双曲正切、反双曲余切、反双曲正割、反双曲余割六种。这里，就介绍比较常见的前三种：反双曲正弦、反双曲余弦、反双曲正切。
反双曲函数是双曲函数的反函数。记为（arsinh、arcosh、artanh等等）。与反三角函数不同之处是它的前缀是ar意即area(面积)，而不是arc(弧)。
反双曲正弦
反双曲正弦函数记作y=arsinhx。
双曲函数y=sinhx的定义是y=sinhx= .那么，取它的反函数，最终得到反双曲正弦函数的定义是y=arsinhx= 。
反双曲正弦函数的定义域为 。它是奇函数。在区间 内单调增加。
反双曲正弦函数的导数是 。不定积分是 （不包含不定积分特有的常数C）。
反双曲正弦函数的幂级数展开式是：
。
反双曲余弦
反双曲余弦函数记作y=arcoshx。
双曲函数y=coshx的定义是y=coshx= .那么，取它的反函数，最终得到反双曲余弦函数的定义是y=arcoshx= 。
反双曲余弦函数的定义域为 。它是非奇非偶函数。在区间 内单调增加。反双曲余弦函数的图像如图1所示。
反双曲余弦函数的导数是 。不定积分是 （不包含不定积分特有的常数C）。
反双曲余弦函数的幂级数展开式是：
= 。
反双曲正切
反双曲正切函数记作y=artanhx。
双曲函数y=tanhx的定义是y=tanhx= .那么，取它的反函数，最终得到反双曲正切函数的解析式是y=artanhx= 。
反双曲正切函数的定义域为 。它是奇函数。在区间 内单调增加。
反双曲正切函数的导数是 。不定积分是 （不包含不定积分特有的常数C）。需要注意，在反双曲正切的不定积分中，有条件 ，此不定积分才能成立。
反双曲正切函数的幂级数展开式是：
= 。
对比
在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。
求导
双曲函数求导
shx = (e^x - e^(-x)/2, (shx) ' =chx
chx = (e^x + e^(-x)/2, (chx) ' =shx
thx = shx / chx, (thx) ' = 1/(chx)^2
反双曲函数求导
arsinh x = ln[ x+ (x^2+1)^(1/2) ] , (arsinh x) ' = 1/ (x^2+1)^(1/2)
arcosh x = ln[ x+ (x^2-1)^(1/2) ] , (arcosh x) ' = 1/ (x^2-1)^(1/2)
artanh x =(1/2) [ ln(1+x)/(1-x) ], (artanh x) ' = 1/(1-x^2)
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