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反对称矩阵

线性代数术语

设A为n维方阵，若有A'=-A，则称矩阵A为反对称矩阵。对于反对称矩阵，它的主对角线上的元素全为零，而位于主对角线两侧对称的元素反号。反对称矩阵具有很多良好的性质，如若A为反对称矩阵，则A'，λA均为反对称矩阵；若A,B均为反对称矩阵，则A±B也为反对称矩阵；设A为反对称矩阵，B为对称矩阵，则AB-BA为对称矩阵；奇数阶反对称矩阵的行列式必为0。反对称矩阵的特征值是0或纯虚数，并且对应于纯虚数的特征向量的实部和虚部形成的实向量等长且互相正交。

定义
设，若其中元素满足，则称A是对称矩阵；若其元素满足，则称A为反对称矩阵。
若A是反对称矩阵，则，当时，便有，即反对称矩阵主对角线上的元素全为零，而位于主对角线两侧对称的元素反号。
基本性质
性质1
设A,B为反对称矩阵，则A±B仍为反对称矩阵。
证明过程：
设A,B为反对称矩阵，即有
则
至此，根据反对称矩阵的定义可得，A±B为反对称矩阵。
性质2
设A为反对称矩阵，则仍为反对称矩阵。
证明过程：
设A为反对称矩阵，即有
则有
至此，根据反对称矩阵的定义可得，仍为反对称矩阵。
性质3
设A为反对称矩阵，B为对称矩阵，则AB-BA为对称矩阵。
证明过程：
已知A为反对称矩阵，B为对称矩阵，即有
故有：
至此，根据反对称矩阵的定义可得，AB-BA为对称矩阵。
注意事项
（1）设A,B为反对称矩阵，AB不一定是反对称矩阵。
（2）设A为反对称矩阵，若A的阶数为奇数，则A的行列式为0；A的阶数为偶数，则根据具体情况计算。
定理及其证明
定理1
奇数阶反对称矩阵的行列式必为0。
证明过程：
设A为反对称矩阵，即有
故有
当n为奇数时，就由，于是。
定理2
反对称矩阵的特征值是0或纯虚数，并且对应于纯虚数的特征向量的实部和虚部形成的实向量等长且互相正交。
证明：
（1）设实反对称矩阵A的特征值，相应的特征值向量，其中u，v是实向量。那么由得到
即
分别等置两边的实部和虚部得到
于是
因为（内积），所以上二式相加得到
又因为，所以
从而。类似地可以知道。因此
于是由推出a=0，从而。
（2）由（1）中可得，所以，即
于是
因为，所以。
此外。由以及可知，即u，v正交。
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