反射原理

理学领域术语

反射原理(reflection principle)亦称反射定理。模型论中LST定理的集合论形式。反射原理由蒙太古(Montague，R.)最先给出，它在公理集合论中有着非常广泛的应用。

概念

反射原理(reflection principle)亦称反射定理。模型论中LST定理的集合论形式。设φ1，φ2，…，φn为ZF系统的任意有限条公理，则存在集合模型M，使M⊨φ1∧φ2∧…φn，即M为φ1，φ2，…，φn的模型。这一结论称为反射原理。在ZF系统中，不可能证明存在ZF系统标准集合模型，但由反射原理，可以证明(在ZF系统中)，任何有限片段均存在集合模型。反射原理还可以表述为下列更一般的形式：设H为一个类，对每个序数α，设Z(α)为一个集合，且满足：

1.α<β→Z(α)⊂Z(β)；

2.若γ为极限序数，则；

3.，On表示序数的全体；

则在ZF系统中可以证明，对任何公式Φ及任意序数α，存在序数β>α，使得Z⊨Φ，当且仅当Z(β)⊨Φ即公式Φ对Z(β)，Z绝对。反射原理由蒙太古(Montague，R.)最先给出，它在公理集合论中有着非常广泛的应用。

模型论

数理逻辑的一个分支，是研究形式语言及其解释(模型)之间关系的理论。

用模型来研究数学理论可追溯到非欧几里得几何学的无矛盾性证明(见解释)：建立欧氏几何模型，从而证明了非欧几何相对于欧氏几何的无矛盾性。20世纪20年代后，随着证明论的创立和发展，对形式系统的研究不断深入，许多问题是依赖于模型(解释)来研究的，例如可用各种模型来论证一组(形式)语句的无矛盾性或范畴性，也可用模型来论证一语句对一组语句的独立性等等。因而形式语言与其解释之间的关系问题日益受到重视，成为重要的研究对象。

最早的模型论研究是勒文海姆和斯科朗等人的工作。1915年勒文海姆证明：每一组有限多语句如果有模型的话，则它也有一个可数模型。1920年斯科朗把这一结果推广到有可数个语句的情况。20世纪30年代哥德尔、马尔采夫等人在紧致性定理方面的工作也是重要的奠基性工作。但是直到20世纪50年代，模型论才正式成为一门新的学科，主要标志是1949年亨肯发表的完全性定理的新证明，1950年国际数学家大会上塔尔斯基与A.鲁宾逊的报告以及1951年A.鲁宾逊《代数的元数学》的发表。

一个形式语言ℒ的解释u称为此语言的一个模型或结构。u是一个具有若干运算、关系及特指元素的非空集合，也称为泛代数。所以，模型论又被形容为“泛代数+逻辑”。由于所涉及的逻辑系统不同，模型论可分为：一阶模型论、高阶模型论、模态模型论、多值模型论等。由于在数理逻辑中以一阶逻辑发展最成熟，所以，模型论中也以一阶模型论的内容最丰富，应用也最多。

构造模型是模型论的重要课题，模型论采用了许多独特的构模方法和工具。例如20世纪50年代塔尔斯基与沃特提出的初等子模型；20世纪70年代A.鲁宾逊等人提出的模型论力迫法；由斯科朗提出而在20世纪50年代由沃希等人作了系统化的超积等。这些方面后来都有新的发展。

模型论应用于数学各分支，取得了许多新结果。在代数方面应用，取得群论和域论的一些结果，如阿克斯与科琴用它解决了著名的阿廷猜想。在分析方面应用，A.鲁宾逊构建了非标准分析(1960—1961年)，现已发展为一整套非标准数学。

LST定理

解释集合论语言的系统或结构。设M为非空集合或真类，E为M上的一个二元关系，则结构〈M，E〉为集合论语言的一个模型，M称为模型的域。这里，集合论全域V中的每个集合被解释成M中的一个元素，集合的属于关系∈被解释成二元关系E。对任意集合论语言中的合式公式φ，模型〈M，E〉与φ的满足关系〈M，E〉⊨φ，可递归定义如下：

1.若φ为原子公式，则〈M，E〉⊨x=y，当且仅当x=y;〈M，E〉⊨x∈y，当且仅当x∈y。

2.若φ形如φ1∧φ2，则〈M，E〉⊨φ1∧φ2，当且仅当〈M，E〉⊨φ1且〈M，E〉⊨φ2。

3.若φ形如ᒣψ，则〈M，E〉⊨ᒣψ，当且仅当〈M，E〉⊨ψ不成立。

4.若φ形如∃xψ，则〈M，E〉⊨∃xψ，当且仅当存在a∈M使〈M，E〉⊨ψ(a)。

集合论模型与模型论中定义的模型有着非常密切的关系。一方面集合论模型只是对集合论语言的解释，因此，它是一种特定语言的模型;另一方面模型论中的模型之论域必须为一集合，而集合论模型的域可以为一真类。尽管两者有一定区别，但模型论中的许多定理，如完备性定理、LST定理、紧致性定理等在集合论中均有相应的形式。

公理集合论

数理逻辑的主要分支之一，是用公理化方法处理朴素集合论的内容的理论，更重要的，是研究集合论的元数学性质——集合论的模型、各公理的关系、各系统之间的关系、各种不可判定语句以及集合论公理化过程中所提出的种种新方法和新问题的理论。

1908年，策梅罗提出了第一个集合论公理系统，旨在避免集合论中的悖论。20世纪20年代，弗伦克尔和斯科朗加以改进和补充，得到常用的策梅罗一弗伦克尔公理系统，简记为ZF。这是一个建立在有等词和属于关系的一阶谓词演算之上的形式系统。它的非逻辑公理有：外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、替换公理模式、正则公理。如果另加选择公理(AC)，则所得到的公理系统简记为ZFC。

已经证明，ZF对于发展集合论是足够的，它能避免已知的集合论悖论，并在数学基础研究中提供一种方便的语言和工具。在ZF中，几乎所有的数学概念都能用集合论语言来表达。数学定理也大都可以在ZFC系统内得到形式证明。因而作为整个数学的基础，ZFC是完备的。数学的无矛盾性可归结为ZFC的无矛盾性。

由哥德尔的不完全性定理可知，如果ZF是无矛盾的，则在ZF中不能证明自身的无矛盾性。所以，在公理集合论中只考虑相对无矛盾性问题，解决的方法是构造模型，常用的三种方法是：内模型法，外模型法(力迫方法)，对称模型法。1938年，哥德尔证明了CH对于ZFC的相对无矛盾性，用的就是内模型法。1963年，科恩创立外模型法，证明了CH相对于ZF的独立性。

公理集合论的一个研究领域是由朴素集合论中对无限组合问题的研究发展而来的组合集合论。另一个研究领域是描述集合论(解析理论)，主要探讨划分层次(级)后的实数子集的结构性质问题。在研究这两个领域的许多问题时，都要用到ZF(或ZFC)以外的附加假设(公理)才能判定。常用的附加假设有：可构成公理，各种大基数公理以及与AC不相容的决定性公理等。

1938年，哥德尔提出了可构成公理，20世纪60—70年代，这一公理得到重视和发展。大基数公理虽然早已提出(在ZF+大基数公理(即“存在一大基数”)的公理系统中，可以证明ZF是无矛盾的)，但直到20世纪60年代以后才作为公理集合论某一领域的附加假设使用。几乎每一种大基数都是ω的某种性质向不可数基数的推广。可构成性、大基数和力迫方法(外模型法)已成为当代公理集合论研究的三大主流，它们又是三种重要的工具。随着无限对策的产生和对策论在数学各分支中的渗透，决定性公理也日益受到重视。

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