反幻方

图表

反幻方是在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和不相等，具有这种性质的图表，称为“反幻方”。

反幻方的定义

反幻方与正幻方最大的不同点是幻和不同，正幻方所有幻和都相同，而反幻方所有幻和都不同。所谓幻和就是幻方的任意行、列及对角线几个数之和。如下图1 3阶反幻方的比较。

图中边框外围的数字之和就是幻和。红色为偶数，黑色为奇数。

可以说反幻方是一种特殊的幻方。反幻方的幻和可以全部不同，也可以部分相同。如下图1多种3阶反幻方。

3阶反幻方如果旋转、翻转后的幻方算作同一个，总共有3120个3阶反幻方，如果旋转、翻转后的幻方另外算一个，共24960个反幻方。

完美反幻方

完美反幻方是指将连续的n^2个数字填到n*n的正方格中，使其中任意一行、任意一列、任意一条对角线上的数字之和都不相等。并且各个方格内的自然数必须首尾相连，成为螺旋的形状。当代美国科普作家加德纳（M．Gardner，1914~）发现，符合上述条件的反幻方只有两个，它们是：

即一个转进去的螺旋与一个转出来的螺旋。

对比

n阶反幻方与高阶反幻方

n阶幻方是由前n^2（n的2次方）个自然数组成的一个n阶方阵，其各行、各列及两条对角线所含的n个数的和不相等。例子：

高次幻方是指，当组成幻方各数替换为其2，3,...,k次幂时，仍满足反幻方条件者，称此幻方为k次幻方。

历史来源

幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它最早起源于我国。关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方，除此之外，还有4阶、5阶...

后来，人们经过研究，得出计算任意阶数幻方的各行、各列、各条对角线上所有数的和的公式为：

S=n(n ^2+1) /2

其中n为幻方的阶数，所求的数为S.

三阶幻方是最简单的一种幻方,如果把经过旋转和反射以后产生的幻方看作相同的幻方,那么,三阶幻方只有一种构造方法。美国著名幻方大师马丁·加德纳发现：将1，2，3…9九个数随意填进三阶方阵中的九个格子里，一般都会出现一些行或列或对角线上数字之和相等，于是他提出疑问：是否存在一个方阵，它的任一行，任一列或对角线上的数字之和都不相等呢？这就是反幻方问题，经过研究他终于找到了这种反幻方，有趣的是反幻方中的九个数竟形成了按顺序咬接的“一条龙“。

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