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反比例函数

数学函数

反比例函数描述了两个变量之间的反比关系，函数图象呈现为两支不相交的曲线，具有特定的性质，有广泛的应用价值。人类很早就开始了对反比例函数的研究，许多物理量之间都有反比关系，可以用反比例函数来描述。

发展简史
人类对反比例函数的研究可以追溯到古希腊时期，《几何原本》中的“比例”一卷提出了反比的概念。后世的数学家对反比例函数进行了更为透彻的研究。在18世纪，数学家欧拉在《分析通论》中对反比例函数进行了进一步的研究。
随着数学的发展和应用的拓展，反比例函数在物理学、经济学、生物学、化学等领域有广泛的应用。例如在纯电阻电路中，电压一定时电阻与电流成反比例关系等。随着计算技术的进步，反比例函数的计算和应用变得更加便捷和广泛，为解决实际问题和推动科学发展做出了重要贡献。
定义
如果两变量，的关系可表示为（且为常数）的形式，则称是的反比例函数。
函数图像
当时，函数的图象在第一象限和第三象限。
当时，函数的图象在第二象限和第四象限。
函数性质
定义域和值域
反比例函数的定义域是，值域是
奇偶性
反比例函数是奇函数。
单调性
当时，反比例函数的单调减区间是和，没有单调增区间。
当时，反比例函数的单调增区间是和，没有单调减区间。
渐近线
反比例函数的图象有两条渐近线，即x轴和y轴。反比例函数的图象的两支曲线都分别无限接近x轴和y轴，但都不与x轴和y轴相交。
几何意义
过反比例函数图象上任意一点作x轴和y轴的垂线，与x轴和y轴交于点，，则矩形的面积等于。
证明：设点的坐标是，则，，故有
对称性
反比例函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形；原点为其对称中心，直线和直线为其对称轴。
证明：反比例函数的图象上的任意点，坐标。
点关于原点的对称点坐标满足
故而成立，即点也在该反比例函数的图象上，可知反比例函数的图象是中心对称图形，且原点为其对称中心。
点关于直线的对称点坐标，关于直线的对称点坐标，满足
故而，成立，即点和点也在该反比例函数的图象上，可知反比例函数的图象是轴对称图形，直线和直线均为其对称轴。
导数
对于
其导数为
不定积分
反比例函数的不定积分为
部分大学数学教材将其表达为
在自变量取正、负的两个部分，加上不同的常数，对求导后的结果不产生影响。
应用举例
例1 已知函数为反比例函数。求的值。
解：由反比例函数的定义可知
解之得。
例2 利用反比例函数图象，证明不等式
其中，均为正实数。
证明：在反比例函数在第一象限的图象上取两点，，坐标分别为，。过点，作x轴，y轴的垂线。
如图，由反比例函数的几何意义知
故而
取等条件为，即点，重合，。原不等式得证。
例3 许多物理量之间也有反比例关系，可以用反比例函数来表示。例如：
①相同的力施加在物体上，压强与接触面积成反比；
②同长度同种材料的柱形定值电阻，其电阻大小与截面积成反比；
③单缝衍射的中央亮条纹角宽度与缝宽成反比。
其他相关概念
幂函数
如果两变量，的关系可表示为（为常数）的形式，那么该函数被称为幂函数。对于反比例函数，当时，其为幂函数，对应的。
双曲线
反比例函数图象是两条位于不同象限的曲线，这两条曲线构成离心率为的双曲线。
双曲线是圆锥曲线中的一类。双曲线上的一点到两个定点的距离之差的绝对值为定值，此为双曲线的第一定义。
可以验证，函数
上的点到定点和的距离之差的绝对值为：
证明：由对称性，不妨设反比例函数图象在第一象限的点，满足
那么由两点间的距离公式
从而
其中的第三个等号用到代换。上述两式显然相等。
也可以通过旋转来将反比例函数转换为双曲线的标准方程。
作旋转的坐标变换
那么原先的函数关系式可化为
即双曲线的标准方程。
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