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反演点

数学术语

反演点（inverse points;inverse）是在圆或球直径上的一对点P与P′，如果它们到中心O之距离的乘积，等于半径r的平方，则称它们互为反演点，O称为反演中心，r称为反演半径。从P变到P′或从P′变到P的变换，称为反演变换，或反演映射，简称反演。有时把求倒数的运算也称为反演。

基本解释
解释1 设有一个圆，其半径等于R，对于所在平面上异于的任一点，在射线上存在一点，满足，我们把点叫做点关于圆的反演点。显然点也是点关于圆的反演点，因此说点和点关于圆互为反演点。对于一个平面图形，我们把一个图形上的任一点变换成它的关于一已知圆的反演点的变换叫做反演变换，简称反演。这里，已知的圆叫做反演圆，已知圆的中心叫做反演极，已知圆的半径叫做反演半径，半径的平方叫做反演幂。
还可以仿上法去定义空间的图形关于一个已知球的反演（这时为球半径）、平面或是空间的图形关于一个已知点的反演（这时只须改成是常数）。
对于一个变换，由这一变换下的象出发，反过来求其原象的过程，叫做这一变换的反演。
解释2 在平面上取定点，以为中心、为半径作圆，又取以外的任意点，用直线连接，在半直线上取点，使。
这时，称为的反演点，使对应于的对应称为反演。这时所作的圆称为反演圆，该圆的半径称为反演半径，圈心称为反演中心。通过反演，反演圆内部的点变到外部的点，外部的点变到内部的点，而反演圆的圆周上的点不变。在空间中，对于球面，可与平面的情况一样地定义反演。
相关解释
若为以定点为端点的射线上一点，且（为非零常数），则称为关于的反演点，同样，为关于的反演点。定点称为反演中心，为反演半径，为反演基圆，为反演幂。若经变换而变为它的反演点，则称此变换为反演变换。
若图形F上各点经反演变换得图形F’，则称F和F’互为反像。反演中心不存在反演点，若F和F'不包含反演中心，则F与F’的点一一对应。经过反演中心的直线为二重线；反演基圆上的点为二重点。当反演基圆变态为直线时，此时反演中心不复存在，反演变换相应变态为反射．反演变换有以下重要定理：
(1)不共线的两双反演点共圆，且此圆与反演基圆正交；
(2)不通过反演中心的直线，其反像为过反演中心的圆，其逆亦真；
(3)不通过反演中心的圆，其反像亦为不通过反演中心的圆；
(4)与反演基圆正交的圆，其反像为原圆；
(5)两条曲线在某交点的交角，经反演，大小不变，方向相反，正交两圆其反像仍正交；相切两圆的反像仍相切，若切点恰是反演中心，则其反像为两平行线；一直线若与一圆相切，其反像亦仍相切。
反演变换因其具有上述性质而成为证题和作图中的重要工具，通常研究的反演变换，反演幂k为大于零的数，若，则反演基圆为虚圆，上述性质则不复存在，对于此类反演变换可转化为反演幂为的反演变换和一次点反射的积来代替。
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