变分法

数学学科概念

变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，是处理泛函的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。它最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。变分法起源于一些具体的物理学问题，最终由数学家研究解决。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。

简介

变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它分辨不出找到的是最大值还是最小值（或者两者都不是）。

变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。最优控制的理论是变分法的一个推广。

同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau问题。

发展简史

变分法可能是从约翰·伯努利（Johann Bernoulli）1696年提出最速曲线（brachistochrone curve）问题开始出现的。它立即引起了雅克布·伯努利（Jakob Bernoulli）和洛必达的注意，但欧拉首先详尽的阐述了这个问题。他的贡献始于1733年，他的《变分原理》（Elementa Calculi Variationum）寄予了这门科学这个名字。拉格朗日对这个理论的贡献非常大。拉格朗日（1786）确定了一种方法，但在对极大和极小的区别不完全令人满意。牛顿和莱布尼茨也是在早期关注这一学科。对于这两者的区别Vincenzo Brunacci（1810），Carl Friedrich Gauss（1829），Simeon Poisson（1831），Mikhail Ostrogradsky（1884），和Carl Jacobi（1837）都曾做出过贡献。Sarrus（1842）的由Cauchy（1844）浓缩和修改的是一个重要的具有一般性的成就。Strauch（1849），Jellett（1850），Otto Hesse（1857），Alfred Clebsch（1858），和Carll（1885）写了一些其他有价值的论文和研究报告，但可能那个世纪最重要的成果是Weierstrass所取得的。他关于这个理论的著名教材是划时代的，并且他可能是第一个将变分法置于一个稳固而不容置疑的基础上的。1900发表的第20和23个希尔伯特（Hilbert）促进了更深远的发展。在20世纪David Hilbert，Emmy Noether，Leonida Tonelli，Henri Lebesgue和Jacques Hadamard等人做出重要贡献。Marston Morse将变分法应用在Morse理论中。Lev Pontryagin，Ralph Rockafellar和Clarke广义变分法理想控制论发展了新的数学工具。

欧拉-拉格朗日方程

简介

欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange equation）简称E-L方程，在力学中则往往称为拉格朗日方程。正如上面所说，变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。

值得指出的是，E-L方程只是泛函有极值的必要条件，并不是充分条件。就是说，当泛函有极值时，E-L方程成立。在应用中，外界给定的条件可以使得E-L方程在大多数情况下满足我们的需求。所以尽管下面我们要在比较强的条件下推导，并且这种推导在某些意义上有些不太严谨，完全可以在较弱的情况下予以完全严谨的证明，但是就我们所要用的层面而言，也是足够的了。

推导

对于泛函

固定两个端点，在泛函S取到极值时的函数记作g(x)，定义与这个函数“靠近”的一个函数，h(x)=g(x)+δg(x)，其中δg(x)在从x1到x2上都是小量，同时也满足，

这里δg(x)称为函数g(x)的变分。

因为在从任何函数代替g(x)都会使得泛函S取不到极值，所以用h(x)代替g(x)使得作用量产生了增量，为，

将第一项按照δg(x)和δg'(x)幂级数打开，并且注意到δg(x)和δg'(x)永远是小量，舍弃掉二次项及以上高次项，可得关于δg(x)和δg'(x)一次项的和。则S取到极值的必要条件就是这些项的和的值为0。这些和称之为S的一阶变分（或者简称变分），变分为0记作，

按照幂级数打开后，可以得到，

将第二项分部积分得：

由于，于是第一项等于0，换而言之，就是这个等式成立，

于是对任何小的函数δg(x)该积分都等于0，于是只有被积函数等于0的时候才有可能。（这个论断是不严谨的，这里应该由Du Bois Reymond 引理给出）于是我们得到方程，

这就是E-L方程。

在力学上，这里的g用任何一个广义坐标q表示，x用t代替，而L（拉格朗日量）=T（动能）-V（势能），那么拉格朗日方程则为，

物理学应用

物理学中泛函极值问题的提出促进了变分学的建立和发展，而变分学的理论成果则不断渗透到物理学中。

费马原理

费马原理指出：光沿所需时间为极值（极大值、恒值、极小值）的路径传播。假设 y=f(x)为光的路径，则光程可以下式表示：

其中折射率n(x,y)依材料特性而定。

若选择，则A的一阶导数 (A对ε的微分)为

将括号中的第一项用分部积分处理，可得欧拉-拉格朗日方程

光线的路径可由上述的积分式而得。这可以看作上面E-L方程的特例。

大范围变分法

18世纪是变分法的草创时期，建立了极值应满足的欧拉方程并据此解决了大量具体问题。19世纪人们把变分法广泛应用到数学物理中去，建立了极值函数的充分条件。20世纪伊始，希尔伯特在巴黎国际数学家大会讲演中提到的23个著名数学问题中就有三个与变分法有关，变分法的思想贯穿了R.库朗和希尔伯特所著的《数学物理方法》一书。而H.M.莫尔斯的大范围变分法则是20世纪变分法发展的标志（见莫尔斯理论）。

物理学中的变分原理

P. de费马从欧几里得确立的光的反射定律出发提出了光的最小时间原理：光线永远沿用时最短的路径传播。他原先怀疑光的折射定律，但在1661年费马发现从他的光的最小时间原理能够推导出折射定律，不仅消除了早先的怀疑，而且更加坚信他的原理。拉格朗日把变分法用到动力学上。他引进广义坐标q1,q2,…,qn，动能T是 q'=(q'1,q'2,…,q'n)的函数，q'表示广义速度。他又假定力有位势V，V是q的函数，又假定T+V是常量，即系统无耗散，令L=T-V，称为作用量，拉格朗日的最小作用原理是说真实的运动使作用量取极小值。通过欧拉方程，拉格朗日建立他的运动方程，据此推出了力学的主要定律，并解决了一些新的问题。这些工作都记载在他在1788年出版的《分析力学》一书中。

量子力学

变分法在量子力学中主要解决基态能量和波函数问题。

经济学应用

变分法用于求解经济学中的动态最优问题，即给定目标函数和约束条件的情况下，求解使得目标函数维持最优状态的控制变量函数，也叫作“古典变分法”。下述两个问题都可以通过变分法解决，即通过欧拉方程得出其一阶条件。

拉姆齐模型（动态）

Max U=∫EXP(-rt)U(C(t))dt （积分区域为(0,T)）

s.t. iK(t)+W(t)=C(t)+K*(t)（i是无风险收益率，W是工资，K*(t)是K(t)的变动率）

K(0)=K0，K(T)=KT （终结线）

乔根森模型（企业投资的最优路径）

Max V(K)=∫EXP(-ρt)(PQ(K)-mI)dt （积分区域为(0,∞)）

s.t. I=K*+δK （投资I=资本变动K*+折旧δK）

变分法与微分法