古诺模型

数学模型中的一种

古诺模型又称古诺双寡头模型 (Cournot duopoly model)，或双寡头模型 (Duopoly model)。古诺模型是早期的寡头模型。它是由法国经济学家古诺于 1838 年提出的。古诺模型是纳什均衡应用的最早版本，古诺模型通常被作为寡头理论分析的出发点。古诺模型的结论可以很容易地推广到三个或三个以上的寡头厂商的情况中去。

简介

古诺模型是由法国经济学家安东尼·奥古斯丁·库尔诺于 1838 年提出的。它是纳什均衡应用的最早版本。古诺模型通常被作为寡头理论分析的出发点。古诺模型是一个只有两个寡头厂商的简单模型，该模型也称作 “双寡头模型”，或双头垄断理论。该模型阐述了相互竞争而没有相互协调的厂商的产量决策是如何相互影响的，从而产生一个位于完全竞争和完全垄断之间的均衡结果。古诺模型的结论可以很容易地推广到三个或三个以上的寡头厂商的情况中去。

产量竞争模型

设市场上有 A、B 两个厂商生产和销售相同的产品，它们的边际生产成本为 C1 和 C2，它们共同面临的市场的需求曲线是线性的，即统一市场价格

P = P0 – λ (Q1 + Q2). ––– (1)

其中 Q1 和 Q2 为 A、B 两个厂商的产量。于是 A、B 两个厂商的利润

π1 = (P – C1) Q1, ––– (2)

π2 = (P – C2) Q2. ––– (3)

将 (1) 式分别代入 (2) (3) 式可得出利润与产量的相关函数：

π1(Q1,Q2) = (P0 – C1) Q1 – λ (Q12+ Q1Q2),

π2(Q1,Q2) = (P0 – C2) Q2 – λ (Q22+ Q1Q2).

设每个厂商 A、B 根据自身利润最大化原则来调整产量，于是有

∂π1 / ∂Q1 = P0 – C1 – λ (2Q1 + Q2) = 0,

∂π2 / ∂Q2 = P0 – C2 – λ (Q1 + 2Q2) = 0.

解得均衡策略 Q1 = (P0 – 2C1 + C2) / 3λ，Q2 = (P0 + C1 – 2C2) / 3λ。生产成本高低不同的企业可以共存，只是成本低者所占市场份额更大。而共谋策略下只会让生产成本低的企业生产，以最大化总利润。如果 C1 = C2 = C，则 Q1 = Q2 = (P0 – C) / 3λ，行业总产量为完全竞争产量 (P0 – C) / λ 的 2 / 3 倍，而共谋均衡为 1 / 2 倍。双寡头比完全垄断要多生产出一些产品，使价格降低而有利于消费者。

一般地，如果有 m 家厂商，每个厂商生产成本相同，则每个厂商的产量为完全竞争产量 (P0 – C) / λ 的 1 / (m+1) 倍，故行业总产量为完全竞争产量的 m / (m+1) 倍，随 m 的增大而越来越接近于完全竞争均衡。若各厂商生产成本不同，哪些高生产成本的厂商会退出市场，哪些低生产成本的厂商能存活，各自所占市场份额有多少，都可以通过古诺模型来计算。

价格竞争模型

假定两个寡头分别用 40 元的固定成本生产可以相互替代并且有差别的产品，并假定不存在可变成本，边际成本为 0，两个寡头面临的市场需求数如下：

D1：Q1 = 24 – 4P1 + 2P2，

D2：Q2 = 24 – 4P2 + 2P1。

于是寡头 1 的利润为

π1 = P1Q1 – 40 = 24 P1 – 4P12 + 2 P1P2 – 40，

令利润最大化

dπ1 / dP1 = 24 – 8P1 + 2P2 = 0，

解得寡头 1 的反应函数 P1 = 3 + P2 / 4。同理，寡头 2 的反应函数 P2 = 3 + P1 / 4。

因此解得均衡价格 P1 = P2 = 4，均衡产量 Q1 = Q2 = 16，均衡利润 π1 = π2 = 24。

寡头间的这种无勾结行为而达到的这种均衡称为古诺均衡。寡头间若存在着勾结，以求得联合的利润最大化，所得到的均衡为共谋均衡。可以计算出共谋均衡点 P1 = P2 = 6，Q1 = Q2 = 12，π1 = π2 = 32，利润要高于古诺均衡。

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