可解群

数学术语

可解群的概念产生于描述其根可以只用根式（平方根、立方根等等及其和与积）表示的多项式所对应的自同构群所拥有的性质。

解释

对于有限群，有一个等价的定义为：一可解群为一有着其商群皆为质数目的循环群之合成列的群。此一定义会等价是因为每一个简单阿贝尔群都是有质数目的循环群。若尔当-赫尔德定理表示若一个合成列有此性质，则其循环群即会对应到某个体上的n个根。但此一定义的等价性并不必然于无限群中亦会成立：例如，因为每一个在加法下的整数群Z的非当然子群皆同构于Z本身，它不会有合成列，但是其有着唯一同构于Z的商群之正规列{0,Z}，证明了其确实是可解的。

和乔治·波里亚的格言“若有一个你无法算出的问题，则会有的你可以算出的较简单的问题”相一致的，可解群通常在简化有关一复杂的群的推测至一系列有着简单结构－阿贝尔群的群的推测有着很有用的功用。

例子

所有的阿贝尔群都是可解的－其商群A/B总会是可交换的，若A为可交换的。但非阿贝尔群则不一定都是可解的。

更一般地，所有幂零群都是可解的。特别地是，所有的有限p-群都是可解的，因为所有的有限p-群都会是幂零的。

可解但不为幂零的群的一个小例子为对称群S3。实际上，当最小的简单非可贝尔群为A5(5度的交错群)时，它允许每一个目小于60的群皆为可解的。

群S5不是可解的－它有一合成列{E,A5,S5}(且若尔当-赫尔德定理表示每个其他的合成列都会等价于此一合成列)，给出了同构于A5及C2的商群；而A5为非可换的。广义化此一论述，结合An在n > 4时为Sn的正规、最大且非阿贝尔简单子群的事实，可知n > 4的所有Sn皆不可解，此亦为证明每一个n > 4的n次多项式都不可以以方根得解的关键步骤。

著名的范特-汤普逊定理叙述著，每一个奇数目的有限群皆是可解的。特别地是，此定理表示，若一有限群为简单的，其必为质数循环或有偶数目。

性质

可解性的性质在某一意义上是可继承的，如下：

若G为可解的，且H为G的子群，则H也是可解的。

若G是可解的，且H为G的正规子群，则G/H也是可解的。

若G是可解的，且存在一G满射至H的同态，则H也是可解的。

若H及G/H为可解的，则G也是可解的。

若G及H为可解的，则其直积G × H也是可解的。

导群

设G是群，a，bG，定义a,b的换位子[a,b]=，由G的所有换位子生成的群称为G的换位子群或导群，记作G’，定义G的高阶导群，若存在正整数n使得（1是G的单位元），则称G是可解群。该定义与用正规子群列的定义等价。

超可解群

做为可解性的加强版，一个群G被称为超可解的，若它有一其商群皆为循环群的不变正规列；换句话说，if it is solvable with each Ai also being a normal subgroup of G，且每个Ai+1/Ai都不只是可交换而已，且也是循环的(可能为无限目)。因为一正规列在定义中有有限的长度，所以不可数阿贝尔群不会是超可解的。实际上，所有的超可解群皆为有限产生群，且一个阿贝尔群为超可解的当且仅当其为有限产生的。

若限制在有限产生群中，将可以有下列的排序：

循环群 < 阿贝尔群 < 幂零群 < 超可解群 < 多重循环群 < 可解群 < 有限生成群

S5不可解性

证:若S5是可解的，则存在正规子群N使S5/N可交换。设f为S5到S5/N的自然同态，考察三项循环(a,b,c)∈S5，再取另两元d，e。令x=(d,b,a),y=(a,e,c)。x-1y-1xy的f像为x‘-1y'-1x'y'∈S5/N，由S5/N可交换知x‘-1y'-1x'y'=1，即有x-1y-1xy=(a,b,c)∈N。故N包含所有三轮换，同理其正规群列均包含三轮换，所以不可能结束于1。（此证明事实上也给出了5次以上的证明）

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