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合取

5个基本命题联结词之一

合取是5个基本命题联结词之一 ，用符号∧表示 。符号∧读作“并且”，是自然语言中的联结词“并且”的抽象 。令 p、q 表示任意命题 ，公式 p∧q 表示 p 和 q 的合取 ，称为合取式 ，读作“p 并且q”。p∧q是复合命题的“ p 并且q”的抽象 ，也是复合命题“ p 并且q”的命题形式 。p∧q 的真假由p 和q 的真假决定 。当 p 和q 皆真时 ，p∧q 为真 ，p、q 二者之一为假或二者皆假时 ，p∧q 为假 。

合取
于是，有下述真值表：
改表的左半部列出了p和q的全部可能的真值组合：p可以取1、 0两个真值。当p取值1时，q可以取1、0两个值；当p取值0时，q可以取1、 0两个值。于是全部可能的真值组合有4种：11、 10、 01、00。p∧q只在11的组合下才取值1，在其他组合下都取值0。
上述真值表所刻画的合取词∧，只保留了各种联言联结词所表示的联言命题与其支命题之间的真假关系，而舍去了它们可能表示的并列、承接、递进、转折、对比等意义，以及由这种意义赋予各个支命题的某种顺序关系，由此造成下述两个结果，它们体现了合取词∧与各种日常语言中的联言联结词的最大不同之处：
(1)合取交换律成立，p∧q与q∧p总是取同样的真值。一个合取命题成立与否，与其中合取支的顺序无关。
(2)只要两个合取支都是真的，相应的合取命题总是真的，不管其合取支之间是否有内容、意义上的关联。
合取范式
如果一个命题公式可等价地表示为：
A1 ∧A2 ∧ … ∧An
其中A1，A2，…，An都是由命题变元或其否定所组成的析取项，则称这种表示形式为合取范式。
例如，（P∨Q）∧（¬P∨R）∧（Q∨R）是合取范式。
但是，（P∧Q）∧（P→Q）∧（R→Q）不是合取范式，P∧Q，P→Q，R→Q都不是析取项。
把命题公式转化为合取范式，其方法、步骤与命题公式转化为析取范式的方法、步骤相似：
首先把命题公式中各类联结词转化为 ∨，∧，¬，然后利用德摩根律把否定词¬置于各个命题变元的前面，最后利用结合律和分配律（∨对∧的分配），把命题公式转化为合取范式。
主合取范式
如果在一个含有n个变元的命题公式的合取范式中，每一个析取项都由这n个变元或其否定的析取组成，则称这个合取范式为主合取范式。
例如，命题公式P∧Q的主合取范式为：
P∧Q⇔（P∨（Q∧¬Q））∧（Q∨（P∧¬P））
⇔（P∨Q）∧（P∨¬Q）∧（Q∨P）∧（Q∧¬P）
⇔（P∨Q）∧（P∨¬Q）∧（¬P∧Q）
由此可见，把合取范式化为主合取范式，主要是把合取范式的析取项中缺少的某些变元如P，Q等，用P∧¬P和Q∧¬Q等补上，再用分配律（∨对∧的分配）展开，合并相同的析取项后即得主合取范式。
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