合痕

代数学的基本概念

合痕(isotopy)是代数学的基本概念，指两个非结合代数之间的三个可逆线性变换满足的一种特殊的保乘关系。设(A，+，·)和(A′，#，*)都是域F上的非结合代数，f，g，h是(A，+)到(A′，#)的三个线性变换，若对任意x，y∈A恒有f(x·y)=g(x)*h(y)，则称(f，g，h)是A到A′的一个合痕。此时称A是A′的(f，g，h)合痕，这个概念首先由阿尔贝特(A.A.Albert)于1942年给出。

基本介绍

同伦称为一个合痕，如果对于中的任一，是一个同胚。

在合痕中，当改变时，我们认为此合痕，是定义在X上的一个单参数的同胚族。

例1 用来定义。当时，F正好是上的恒等映射。但当从0增加到1时，在中的每个以原点为起点的向量，在长度上伸长到这个合痕的端点，那时它们的长度全都为原来的两倍(见图1)。

我们可以认为，一个合痕是当空间X的拓扑不改变时它的一个变形。我们感兴趣的是，一个空间Y在另一个空间X的两个嵌入，是否能通过包含它们的空间X的一个合痕相互变形呢?在这方面，我们来确定两个嵌入等价究竟意味着什么。

定义设和是空间Y到空间X上的嵌入，那么，如果存在一个合痕，使得对于任一，成立，且对于任一，成立，我们就称与是环绕空间合痕的。空间X称为环绕空间，而函数F则称为环绕空间合痕。

如果是一个环绕空间合痕，那么，当限制，F正好是X上的恒等映射，它使X中的所有点保持不动。但当限制t=1时，F把在下的一个点的象，映成此点在g下之象的同一位置，环绕空间合痕使整个空间X以连续方式变形，使得函数最终变形为函数g。

还应注意，虽然条件与看来是十分不同的，但第一个条件蕴涵。所以我们可以认为这些条件蕴涵：在时刻t=0，F把映成，而在时刻t=1，F把映成。

尽管环绕空间合痕的定义说起来有些罗嗦，但它却抓住了橡皮膜几何学的实质。当环绕空间变形时，第一个嵌入的象，缓慢地变形为第二个嵌入的象。请注意，由定义可知，第一个嵌入的象，与第二个嵌入的象同胚。Y的一个同胚拷贝，在每个阶段于环绕空间合痕中出现，而我们就会看到它从初始形态到最后形态的一段影片(见图2)。环绕空间合痕，定义了在空间Y到空间X的两个嵌入之间的一种等价关系。

相关概念介绍

同伦

令X，Y是两个空间，是单位区间，两个映射是同伦的(记作：)，如果存在一个连续映射使得。直观上，可以把t看成时间参数，是从映射到映射的一个连续变形，使得是时的形变位置。也可以说，，是指存在一个连续的单参数映射族，它以为初始位置，以为终止位置。

扭结

扭结(knot)亦称环绕，是几何拓扑学的一个重要概念。设K是拓扑空间X的一个子集，若K同胚于p维球面，则称K为X中的一个扭结。一般地，X的一个子集K，若K同胚于r个球面的无交并，则称为X中的一个环绕。所以扭结是环绕的特殊情形，对于X中的两个扭结或环绕，若存在同胚，使得，即，则称为等价的。扭结或环绕的等价类称为扭结型或环绕型。实际上，除了有特别的说明以外，在这些问题中，一般总假定X为n维欧氏空间，n维球面或n维单形，在这里限制X为3维欧氏空间，K为，即此处所指的扭结是中的一条简单闭曲线。

对于的一个自同胚h，若存在伦移，使得每个为同胚，为恒等映射，，则称为合痕于恒等映射。对于中的扭结若存在的合痕，使得，则称有相同的合痕型。合痕与等价是两个不同的概念。例如，图3中所列的两个三瓣扭结是等价的，但不具有相同的合痕型，因为关于其中某张平面的反射，可把变为它的镜面像，但不能通过连续的变形把变为。到自身的同胚可以惟一地扩张为到自身的同胚，因此在讨论扭结问题时，也可用代替，于是可知任意同胚合痕于恒等同胚当且仅当h为保向同胚。中平面上的单位圆周所表示的扭结及其扭结型称为平凡的或不打结的，否则称为打结的。在扭结的等价之下，可用中由有限条边构成的多边形来表示的扭结称为温良的，否则称为野生的。对于可用多边形表示的温良扭结K，可取中的平面以及到π的投影p，使得：

1.的多重点只限于二重点，并且只有有限个。

2.K的顶点不映为的二重点，这样的一个投影称为K的正则投影。

若两个纽结处于互不相绕的位置，则可以通过两段小弧把它们互相连结起来，如同图3右，这样形成的一个新扭结称为扭结的结合，结合的操作称为扭结的乘法。于是全体扭结型在这种乘法之下成为一个交换半群。一个扭结型称为素的，若不能再用非平凡扭结将它分解。所以在此扭结型半群之中，每一个扭结型能惟一地表示成有限个素扭结型的乘积。

在20世纪30年代之前，扭结理论主要以美国的亚历山大(Alexander，J.W.)以及德国的赖德迈斯特(Reidemeister，K.W.F.)、赛费特(Seifert，H.K.I.)为代表发展起来的，40年代几乎没有太多进展.以后，美国的福克斯(Fox，R.H.)在这方面的贡献较多。进入20世纪80年代以来，一些著名数学家如韦吞(Witten，E.)等投入这方面研究，他把扭结理论与量子场联系起来，得到了琼斯-韦吞(Jones-Witten)的不变量。高登(Gordon，C.M.)与吕克(Luecker，J.)证明了中的一个扭结K由它的补决定。里可里西(Lickorish)利用考夫曼(Kauffmen)括号多项式构造了3维流形不变量，并描述此不变量与的关系。

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