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同余关系

代数系统的集合中的等价关系

同余关系是代数系统的集合中的等价关系，并且在运算的作用下，能够保持关系的等价类。以二元运算为例，在a1*a2中，如果用集合S中与a1等价的任何其他元素b1代换a1，并且用与a2等价的任何其他元素b2代换a2，则所求的结果b1*b2与a1*a2位于同一等价类之中。此外，同余关系与运算密切相关。如果一个代数结构中有多个运算，则需要考察等价关系对于所有这些运算是否都有代换性质。如果等价关系在一个运算上不满足代换性质，该等价关系就不是代数系统上的同余关系。

同余关系的意义
设~为代数结构 的载体S上的等价关系，称~为s上关于一元运算△的同余关系(congruence relation)，如果对S中的任何元素a，b，
蕴含
称~为S上的关于二元运算* 的同余关系，如果对S中的任何元素a，b，c，d，
蕴含
当～关于 中一元运算△、二元运算* 均为同余关系时，便称～为 上的同余关系，等价类 _ 又称为同余类。
在同余关系的定义中，式( 蕴含 )还可以改为：对S中的任意元素a，b，c，
蕴含 且
同态与同余关系
性质
如果函数 是 到 的同态映射，那么h导出的S上如下定义的关系 ，必定是 上的同余关系：
定理1
设h是 到 的同态映射，那么等价关系 是代数结构 上的同余关系。
同余关系的应用
定义
设S上的等价关系~为 上的同余关系，定义S/~上的一元运算@和二元运算 如下，对任意 ，
@
那么代数结构称为 的关于~的商代数(quotient algebra)。
定理2
设为 的关于~的商代数，那么
(1)若 运算满足结合律、交换律，则 运算也满足结合律、交换律；
(2)若 运算有幺元e(零元o)，则 以 为幺元(以[o]为零元)；
(3)若 有关于 运算的逆元 ，则 有关于 运算的逆元[ ]。
在代数结构 与其商代数之间，存在一个有趣的同态映射，称为规范映射，定义如下：
定理3
设~为 上的同余关系，那么规范映射 为 到其商代数的一个同态。
定理4
设h为 到 的同态，~为h导出的 的同余关系，那么商代数与同态像 同构。
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