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同构

数学术语

在抽象代数（abstract algebra）中，同构(isomorphism)指的是一个保持结构的双射(bijection)。在更一般的范畴论语言中，同构指的是一个态射，且存在另一个态射，使得两者的复合是一个恒等态射。

定义
一个 与 间的一一映射 是一个对于代数运算 和 来说的 与 间的同构映射，简称同构，假如在 之下，不管a,b是A的哪两个元，只要 ，就有 。
常见的同构有：自同构，群同构，环同构，域同构，向量空间同构
其中自同构定义为：存在E和F两个集合，且对于E、F各存在一种运算，我们记作（符号可更换）*和·，对于E、F，*、·分别封闭（即对于任意两个集合内的元素，进行运算之后依然为该集合的元素，详情见群论）。我们说f是一个同构当且仅当f∈Γ（E,F） 和f是一个双射且对于E内的任意元素a，b都有f(a*b)=f(a)·f(b)。如果上面所描述的E、F为同一集合E，则说f是一个自同构。
正式表述
同构是在数学对象之间定义的一类映射，它能揭示出在这些对象的属性或者操作之间存在的关系。若两个数学结构之间存在同构映射，那么这两个结构叫做“是同构的”。一般来说，如果忽略同构对象的属性或操作的具体定义，单从结构上讲，同构的对象是完全等价的。
假设M，M′是两个乘集，也就是说M和M′是两个各具有一个闭合的结合法（一般写成乘法）的代数系，σ是M射到M′的双射，并且任意两个元的乘积的像是这两个元的像的乘积，即对于M中任意两个元a,b满足σ（a·b）=σ（a）·σ（b）；也就是说，当a→σ（a），b→σ（b）时，a·b→σ（a）·σ（b）；那么这映射σ就叫做M到M′上的同构。又称M与M′同构，记作M～M′。
目的
在数学中研究同构的主要目的是为了把数学理论应用于不同的领域。如果两个结构是同构的，那么其上的对象会有相似的属性和操作，对某个结构成立的命题在另一个结构上也就成立。因此，如果在某个数学领域发现了一个对象结构同构于某个结构，且对于该结构已经证明了很多定理，那么这些定理马上就可以应用到该领域。如果某些数学方法可以用于该结构，那么这些方法也可以用于新领域的结构。这就使得理解和处理该对象结构变得容易，并往往可以让数学家对该领域有更深刻的理解。
性质
对于
假定对于代数运算来说与同构，那么对于代数运算来说与没有什么本质性的区别，只有命名上的不同，若一个集合有一个只于这个集合的代数运算有关的性质，那么另一个集合有一个完全类似的性质。
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