同构基本定理

泛代数领域定理

同构基本定理，即同态基本定理，由埃米·诺特提出。包含三个定理，在泛代数领域有广泛的应用，证明了一些自然同构的存在性。

来源出处

同构基本定理最早由埃米·诺特（Emmy Noether）在她于1927在德国数学期刊数学分析（Mathematische Annalen）发表的论文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明确阐述。

定义定理

群同态定理

我们首先叙述群论中的同态基本定理，他们的形式相对简单，却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。

第一基本定理

叙述：如果f是群G到群H的一个群同态，则

f的核(kernel)K是G的正规子群; 商群G/K群同构于f的像（image）; f的像是H的子群。数学表达

G,H是群是群同态则是H的子群。群同态第二基本定理（或称群同态第三基本定理）叙述：如果H和K是群G的子群，H是K的正规化子的子群，则

H与K的乘积HK是G的子群； K是HK的正规子群，H∩K是H的正规子群； HK/K同构于H/(H∩K)。数学表达

H,K是G的子群 H是的子群则 HK是G的子群群同态第三基本定理（或称群同态第二基本定理）叙述：如果M、N是G的正规子群，M属于N，那么

M是N的正规子群; N/M是G/M的正规子群； (G/M)/(N/M)同构于G/N。数学表达

则

环和模上形式

将定理中的“群”换为“R-模”，将“正规子群”换为“子模”，就得到对于确定的环R上的模的同构基本定理，（因此同构基本定理对于确定的域上的向量空间也成立）对于向量空间，同构第一基本定理即是秩-零化度定理。将定理中的“群”换为“环”，“子群”换为“子环”，“正规子群”换为“理想”，“商群”换为“商环”就得到环的同构基本定理。与子群的乘积HK相对应的定义是子模，子环，子空间的并，用H+ K而不再用HK表示。具体的定义是：

定理推广

广泛代数中，正规子群被推广为更广泛的同余类的概念。

设A是一个代数结构，A的一个同余类是A上的一个等价关系Φ，可看作是A x A上的子代数。等价类A/Φ的集合在定义了适合的运算法则后，便可成为与A同类型的代数结构。

第一同构定理

设A和B是两个代数结构，f是A到B的态射，则A等价关系Φ：a~b当且仅当f(a)=f(b)是A上的一个同余类，并且A/Φ同构于f的像（B的子代数）。

第二同构定理

设B是A的子代数，Φ是A上的同余类。令[B]Φ是所有包含B种元素的同余类的集合，它是A/Φ的一个子集；ΦB是Φ限制在 B x B上的部分。那么[B]Φ是A/Φ的子代数结构，ΦB是B上的同余类，并且[B]Φ同构于B/ΦB。

第三同构定理

设A是一个代数结构，Φ和Ψ是A上的两个同余关系，Ψ包含于Φ。则Φ定义了A/Ψ上的一个同余类Θ：[a]~[b]当且仅当a与b关于 Φ同余（[a]表示a所在的Ψ-等价类），并且A/Φ同构于(A/Ψ)/Θ。

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