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含参量积分

多元函数对其一部分自变量的积分

含参量积分(integral with parameters)是多元函数对其一部分自变量的积分。设f(x，y)为定义在矩形区域R=[a，b]×[c，d]上的二元函数，若对于[a，b]上每一固定的x值，f(x，y)作为y的函数在闭区间[c，d]上可积，则其积分值是x在[a，b]上取值的函数，记作I(x)，即I(x)=∫dcf(x，y)dy，(x∈[a，b])，函数I(x)称为定义在[a，b]上含参量x的正常积分，简称含参量积分；设f(x，y)为定义在区域G={(x，y)|c(x)≤y≤d(x)，a≤x≤b)上的二元函数，其中c(x)，d(x)为定义在[a，b]上的连续函数，若对于[a，b]上每一固定的x值，f(x，y)作为y的函数在闭区间[c(x)，d(x)]上可积，则其积分值是x在[a，b]上取值的函数，记作F(x)，即F(x)=∫d(x)c(x)f(x，y)dy，(x∈[a，b])，函数F(x)也称为定义在[a，b]上含参量x的正常积分，简称含参量正常积分。设函数f(x，y)定义在无界区域R=[a，b]×[c，+oo)上，若对每一个固定的x∈[a，b]，反常积分∫+∞cf(x，y)dy都收敛，则它是x在[a，b]上取值的函数，记作I(x)，即I(x)=∫+∞cf(x，y)dy，(x∈[a，b])，称式∫+∞cf(x，y)dy为定义在[a，b]上的含参量x的无穷限反常积分，简称含参量反常积分。

基本介绍
含参量积分是多元函数对其一部分自变量的积分，即形如
的积分，其中y=(y1，y2，…，ym)∈BRm，x=(x1，x2，…，xn)∈ARn，f是实函数，当这个积分作为常义或反常积分有意义时，分别称为含参量常义或广义积分，x是其参量.这时它定义了一个A上的实函数：
φ(x)=∫Bf(x，y)dy.
含参量积分理论的主要内容就是研究这个函数的连续性、可微性、可积性，并在可能的情况下求出这个函数以及利用含参量积分计算定积分或表示一些超越函数。
含参量积分的主要性质
下面就f是二元函数情况(即只含一个参量的积分)略述含参量积分的一些主要性质.
1.含参量的常义积分的性质：
1) 若f在D={(x，y)|a≤x≤b，c≤y≤d}上连续，则由积分定义的函数
在[a，b]上连续。
2) 若f在D上可微，fx(x，y)，fy(x，y)在D上连续，则φ(x)在[a，b]上连续可微，且
2.含参量的无穷积分的性质：
1) 若f在E={(x，y)|a≤x≤b，c≤y<+∞}上连续，且
关于x在[a，b]上一致收敛，则由此积分定义的函数在[a，b]上连续。
2) 若f及fx(x，y)在1)中E上连续，存在x0∈[a，b]，使
收敛，且
关于x在[a，b]上一致收敛，则
在[a，b]上处处可微，且可以在积分号下求导数，即
3) 若f(x，y)及相应积分满足1)的条件，则
4) 若f在F={(x，y)|a≤x<+∞，c≤y<+∞}上连续，
则
为有限数。
以上各条性质对于瑕积分均成立，只需对条件和结论作相应的修改即可。含参量的广义积分的收敛概念、收敛判别法及有关性质与函数项级数极为相似。
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