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周期函数

数学函数

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

定义
设f（x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x），则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。
由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期，譬如狄利克雷函数。
性质
周期函数的性质共分以下几个类型：
（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。
（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。
（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。
（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。
（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。
判定定理
周期函数定理，一共分以下几个类型。
定理1
若f（x）是在数集M上以T*为最小正周期的周期函数，则K f（x）+C（K≠0）和1/ f（x）分别是集M和集{X/ f（x） ≠0，X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。
证：
∵T*是f（x）的周期，∴对 有X±T* 且f（x+T*）= f（x），∴K f（x）+C=K f（x+T*）+C，
∴K f（x）+C也是M上以T*为周期的周期函数。
假设T* 不是Kf（x）+C的最小正周期，则必存在T’（0
∴T’是f（x）的周期，与T*是f（x）的最小正周期矛盾，∴T*也是K f（x）+C的最小正周期。
同理可证1/ f（x）是集{X/ f（x） ≠0，X }上的以T*为最小正周期的周期函数。
定理2
若f（x）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f（ax+b）是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。
证：
先证f（ax+b）的周期。
∵T*是f（x）的周期，∴f（x±T*）=f（x），有X±T*∈M，以ax+b替换x得，f（ax±T*+b）=f（ax+b），此时ax+b∈M，提取a为公因式得，f[a（x+T*/a）+b]=f（ax+b）∴T*/a是f（ax+b）的周期。
再证是f（ax+b）的最小正周期。
假设存在T’/a（0
∴T’是f（x）的周期，但 T’
∴不存在T’/a（0
定理3
设f（u）是定义在集M上的函数，u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g（x）∈M，则复合函数f（g（x））是M1上的周期函数。
证：
设T是u=g（x）的周期，则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g（x）∴f（g（x+T））=f（g（x））
∴=f（g（x））是M1上的周期函数。
例1
设=f（u）=u2是非周期函数，u= g（x）=cosx是实数集R上的周期函数，则f（g（x））=cos2x是R上的周期函数。
同理可得：⑴f（x）=Sin（cosx），⑵f（x）=Sin（tgx），⑶f（x）=Sin2x，⑷f（n）=Log2Sinx（sinx>0）也都是周期函数。
例2
f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0）是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。
例3
f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。
证：假设cos 是周期函数，则存在T>0使cos （k∈Z） 与定义中T是与X无关的常数矛盾，
∴cos 不是周期函数。
由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u= g（X）是非周期函数，这时f（g（x））可能是，也可能不是周期函数。
定理4
设f1（x）、f2（x）都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍 数为它们的周期。
证：
设 （（p·q)=1）设T=T1q=T2p，则有：有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X）±f2(X) ，∴f1(X) ±f2（X）是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。同理可证：f1（x）、f2（x）是以T为周期的周期函数。
推论
设f1（x） 、f2（x）……fn（x） 是集合M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期，若， … （或T1，T2……Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。
例1
f（x）=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍数2π为周期的周期函数。
例2
讨论f(X)= 的周期性。
解：2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。
5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。
tg2 是以T3=为最小正周期的周期函数。
又都是有理数
∴f（x）是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）=为最小正周期的周期函数。
同理可证：
⑴f（x）=cos ；
⑵f（x）=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。
定理5
设f1（x）=sin a1x，f2（x）=cos a2x，则f1（x）与f2（x）之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。
证：
先证充分性：
若a1/a2∈Q，设T1、T2分别为f1（x）与f2（x）的最小正周期 ，由定理4，可得f1（x）与f2（x）之和、差、积是周期函数。
再证必要性（仅就f1（x）与f2（x）的差和积加以证明）。
⑴设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T>0，
使sina1（x+T）-sina1x=cosa2（x+T）-cosa2x 2cos（a1x+T）sin = -2sin（a2x+T）sin ⑴。
令x= 得2cos（a1x+T），则 （K∈Z）。⑵
或 C∈Z⑶
又在⑴中令 2sin（a2x+T)sin =-2sin =0
由⑷
由sin ⑸
由上述⑵与⑶，⑷与⑸都分别至少有一个成立。
由⑶、⑸得⑹
∴无论⑵、⑷、⑹中那一式成立都有a1/a2。
⑵设sinaxcosa2x为周期函数，则 是周期函数。
判定方法
周期函数的判定方法分为以下几步：
（1）判断f（x）的定义域是否有界；
例：f（x）=cosx（≤10）不是周期函数。
（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f（x+T）= f（x）中是与x无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f（x+T）- f（x）=0，若能解出与x无关的非零常数T便可断定函数f（x）是周期函数，若这样的T不存在则f（x）为非周期函数。
例：f（x）=cosx^2 是非周期函数。
（3）一般用反证法证明。（若f（x）是周期函数，推出矛盾，从而得出f（x）是非周期函数）。
例：证f（x）=ax+b（a≠0）是非周期函数。
证：假设f（x）=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使之成立 ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0，aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f（x）是非周期函数。
例：证f（x）= ax+b是非周期函数。
证：假设f（x）是周期函数，则必存在T（≠0）对 ，有（x+T）= f（x），当x=0时，f（x）=0，但x+T≠0，∴f（x+T）=1，∴f（x+T） ≠f（x）与f（x+T）= f（x）矛盾，∴f（x）是非周期函数。
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