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和差化积

三角函数公式

和差化积公式：即将三角函数的和或差经过适当变换化为三角函数的乘积的形式，是三角函数中的一组恒等式。常说的和差化积公式指正弦和余弦的和差化积公式。该公式是对一次三角函数实行，对高次三角函数，可用降幂方法降为一次；对同名三角函数方可实行，异名三角函数的情况可用诱导公式化为同名。此外，在一些情况中，我们还有可能用到正切、余切的和差化积公式。

公式
和差化积公式如下：
发展简史
和差化积公式是由法国数学家韦达首先发现的。文艺复兴后期，法国数学家韦达成为三角公式的集大成者。他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是较早系统论述平面和球面三角学的专著之一。在这本书中，除汇总前人的成果外，他还补充了自己发现的如和差化积公式等新公式。
证明
和差化积公式的证明，可以利用如下的和差角公式：
注意到：
故
将（5）式和（6）式相加，可得（1）式，将（5）式和（6）式相减，可得（2）式。
同理，
将（7）式和（8）式相加，可得（3）式，将（7）式和（8）式相减，可得（4）式。
事实上，（1）（2）（3）（4）式相互之间是等价的，这可以从如下等式看出：
相关公式
正切、余切的和差化积公式
在“切割化弦”（将正切、余切、正割、余割化为正弦、余弦）的过程中，我们有时会用到正切、余切的和差化积公式。这组公式等式的左边可以是同名函数，也可以是异名函数。这组公式使用频率较低，如果需要用到，现场推导也较为简单，还可减少公式记忆混乱带来的错误。
（9）至（14）式的证明，可以利用正切、余切与正弦、余弦的关系，以及和差角公式的逆运算给出。对于（9）式和（10）式，由
可以得证。
同理，由
可以证明（11）至（14）式。
平方差化积
通常的和差化积公式要求等式左边的项为一次项，而当等式左边为同名三角函数的平方 项相减时，我们可以使用平方差化积公式：
（15）至（16）式的证明可以利用平方差公式、和差化积公式，并逆向使用二倍角公式：
例题
已知，且，求的值
解：将已知条件编号
①
②
①的平方+②的平方，得：
所以：
则：
计算可得：
①×②，得
所以
则
则
运用和差化积公式：
上式可变为：
所以
将代入，
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