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哈格定理

数学术语

哈格定理(Hagge theorem)关于点共圆的三个定理，设H是△ABC的垂心，P是任意点，连APBP、CP交⊙ABC于A’、B'、C’，命这三点分别关于BC、CA、AB的对称点为A2、B2、C2，又连A2P、B2P、C2P分别交AH、BH、CH于A1、B1、C1，则A1、B1、C1，A2、B2、C2，H七点共圆。H是△ABC的垂心，X、Y、Z各是BC，CA、AB上的点，并假定AX，BY，CZ三线共点，若：(1)过H所引AX、BY、CZ的垂线各与直径为BC、CA、AB的圆相交，则这些交点共圆；(2)过H所引AX，BY、CZ的垂线各与直径为AX，BY、CZ的圆相交，则这些交点共圆；(3)直径为BC、CA、AB的圆各与直径为AX、BY、CZ的圆相交，则这些交点共圆或共线。

基本介绍
哈格定理是关于点共圆的三个定理：设H是△ABC的垂心；X，Y，Z分别是BC，CA，AB上的点，并假设AX，BY，CZ三线共点于R(如图1)。
1.若直径为BC，CA，AB的圆分别与直径为AX，BY，CZ的圆相交，则诸交点共圆或共线。如图1中以BC，AX为直径的两圆交于L，M两点；以AC，BY为直径的两圆交于N，O两点；以AB，CZ为直径的两圆交于P，Q两点，则L，M，N，O，P，Q六点共圆。
2.过点H所引AX，BY，CZ的垂线分别与直径为BC，CA，AB的圆相交，则诸交点共圆。
3.过点H所引AX，BY，CZ的垂线分别与直径为AX，BY，CZ的圆相交，则诸交点共圆。
哈格定理的证明
设H是△ABC的垂心，P是任意点，联结AP，BP，CP交⊙ABC于A'，B'，C'，命这三点分别关于BC，CA，AB的对称点为A2，B2，C2，又联结A2P，B2P，C2P分别交AH，BH，CH于A1，B1，C1，求证：A1，B1，C1，A2，B2，C2，H七点共圆。
证明 如图2，因为
又
所以
因为
有△PBC2∽△PCB2，所以
同理
又
从（1），（2），（3），（4），（5）可知：多边形ABCA'B'C'与多边形A1B1C1A2B2C2相似，因此且A1B1C1A2B2C2有外接圆。
所以B1，A1，C1，H四点共圆且A1，B1，C1，A2，B2，C2六点共圆，故A1，B1，C1，A2，B2，C2，H七点共圆。
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