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四点共圆

同一平面内的四个点在同一个圆上

四点共圆指的是平面上四个点位于同一圆的圆周上。这一概念在平面几何中非常重要，并被广泛地应用于数学问题解决、建筑设计、艺术构图等领域。

定义
对于平面上四个互不相同的点，，，，若存在一点使得，则称，，，四点共圆。
性质
性质定理1
定理1：点，在线段同侧，，，，四点共圆，则有。
证明：和都是☉中弧所对的圆周角。由同弧所对的圆周角相等可知成立。该性质定理得证。
性质定理2
定理2：点，在线段同侧，，，，四点共圆，则有。
证明：连接，，，则由同弧所对的圆周角大小是其所对圆心角的一半可知
由知
三式相加得到
即
该性质定理得证。
性质定理3
定理3：点，在线段同侧，，，，四点共圆，线段，相交于点，则有。
证明：由同弧所对的圆周角相等可知。而由对顶角相等可知，因而可得到。
由相似三角形的对边比例相等，得
即
该性质定理得证。
性质定理4
定理4：点，在线段同侧，，，，四点共圆，线段，相交于点，则有。
证明：由性质定理2可知
由在的延长线上可得
从而可得
而又由可得。
由相似三角形的对边比例相等，得
即
该性质定理得证。
性质定理5（托勒密定理）
定理5：点，在线段同侧，，，，四点共圆，连接，，则有。
证明：在线段上取点使得，连接。
而由性质定理2可知，，因而有。
由相似三角形对应边成比例可得
则有
由可知，又由性质定理2得，因而可得到，则由相似三角形对应边成比例可得
则有
两式相加即可得
该性质定理得证。
性质定理6（西姆松定理）
定理6：，，，四点共圆，过点作三边的垂线，垂足分别为，，，则,,三点共线。
证明：连接，，，取的中点，连接，。
由，为中点可知。同理。因而有，即，，，四点共圆。
同理可得，，，四点共圆。
因而由性质定理1和性质定理2可知
而由，，，四点共圆可知
，，三点共线，所以有
故
代入(*)式可得，即点，，共线。
该性质定理得证。
此外，直线也称作点对的西姆松线。
判定
判定定理1
定理1：，在同侧，则当时，，，，四点共圆。
证明：作的外接圆，则当且仅当点在该圆上时，，，四点共圆。
假设点不在该圆上，则令直线的延长线交该圆于点,连接。
若点在圆内，则。
而由同弧所对的圆周角相等可知，则得到。
这与条件是矛盾的，则点不在圆内。
若点在圆外，则。
而由同弧所对的圆周角相等可知，则得到。
这与条件是矛盾的，则点不在圆外。
故“点不在圆上”的假设是错误的，因而有点在该圆上，即，，，四点共圆。
该判定定理得证。
判定定理2
定理2：，在同侧，则当时，，，，四点共圆。
证明：作的外接圆，则当且仅当点在该圆上时，，，四点共圆。
假设点不在该圆上，则令直线交该圆于点，连接，。
若点在圆内，则。
而由性质定理2可知，则得到。
这与条件是矛盾的，则点不在圆内。
若点在圆外，则。
而由性质定理2可知，则得到。
这与条件是矛盾的，则点不在圆外。
故“点不在圆上”的假设是错误的，因而有点在该圆上，即，，，四点共圆。
该判定定理得证。
判定定理3
定理3：线段，相交于点，，则，，，四点共圆。
证明：由可得
而由对顶角相等可知，因而有。
故而有。
由判定定理1可知，，，四点共圆。
该判定定理得证。
判定定理4
定理4：线段，的延长线相交于点，，则，，，四点共圆。
证明：由可得
而，因而有。
故而有。
由点，，共线可得，则有。
由判定定理2可知则，，，四点共圆。
该判定定理得证。
判定定理5（托勒密定理逆定理）
定理5：点，在线段同侧，，则，，，四点共圆。
证明：在内取点使得，，连接，。
则有，可得
而由可知，即。
结合比例关系可得，则有
所以可得到
结合条件可知，因而在线段上。
则可得
由判定定理1可得，，，四点共圆。
该判定定理得证。
此外，任何凸四边形都满足托勒密不等式，当且仅当，，，四点共圆时取等号。
判定定理6（西姆松定理逆定理）
定理6：过点作三边的垂线，垂足分别为，，，若，，三点共线，则，，，四点共圆。
证明：连接，，则由可知，，，四点共圆，则由性质定理2，有。
同理可得，，，四点共圆，则由性质定理1可得。
而由于，，三点共线即，则有。
又由，可得。
则由判定定理2可知，，，四点共圆。
该判定定理得证。
应用举例
例1 点是的旁心，点关于直线的对称点为点，求证：
(1)，，三点共线。
(2)，，，四点共圆。
解：连接，，，，。
由点是的旁心可得
由轴对称可知
因而有
可得，，三点共线。
而，则由判定定理1可知，，，四点共圆。
例2 求证：对于不共线的四点，，，，该四点共圆的一个充分条件是其分别对应的复数，，，满足为实数。
解：若，在同侧：
，，，分别对应向量，，，，其主辐角分别为，，，。
由复数的三角形式可知的主幅角为即，的主辐角为即。其中，。
故而可得到
当是实数时，其虚部。
由于，，故有，即。
由判定定理1可得，，，四点共圆。
若，在异侧：
与，在同侧的情况同理，的主辐角为，的主辐角为。
由为实数可知其虚部。
由于，，故有，即。
由判定定理2可知，，，四点共圆。
原命题得证。
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