回溯法

选优搜索法

回溯法（探索与回溯法）是一种选优搜索法，又称为试探法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

基本思想

在回溯法中，每次扩大当前部分解时，都面临一个可选的状态集合，新的部分解就通过在该集合中选择构造而成。这样的状态集合，其结构是一棵多叉树，每个树结点代表一个可能的部分解，它的儿子是在它的基础上生成的其他部分解。树根为初始状态，这样的状态集合称为状态空间树。

回溯法对任一解的生成，一般都采用逐步扩大解的方式。每前进一步，都试图在当前部分解的基础上扩大该部分解。它在问题的状态空间树中，从开始结点（根结点）出发，以深度优先搜索整个状态空间。这个开始结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点成为新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的活结点处，并使这个活结点成为当前扩展结点。回溯法以这种工作方式递归地在状态空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。

回溯法与穷举法有某些联系，它们都是基于试探的。穷举法要将一个解的各个部分全部生成后，才检查是否满足条件，若不满足，则直接放弃该完整解，然后再尝试另一个可能的完整解，它并没有沿着一个可能的完整解的各个部分逐步回退生成解的过程。而对于回溯法，一个解的各个部分是逐步生成的，当发现当前生成的某部分不满足约束条件时，就放弃该步所做的工作，退到上一步进行新的尝试，而不是放弃整个解重来。

算法框架

问题的解空间

应用回溯法求解问题时，首先应明确定义问题的解空间，该解空间应至少包含问题的一个最优解。例如，对于有n种物品的 0-1 背包问题，其解空间由长度为n的 0-1 向量组成，该解空间包含了对变量的所有可能的0-1 赋值。当 n=3 时，其解空间是{ (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) }

在定义了问题的解空间后，还需要将解空间有效地组织起来，使得回溯法能方便地搜索整个解空间，通常将解空间组织成树或图的形式。例如，对于n= 3的0-1 背包问题，其解空间可以用一棵完全二叉树表示，从树根到叶子结点的任意一条路径可表示解空间中的一个元素，如从根结点A到结点J的路径对应于解空间中的一个元素(1, 0, 1)。

回溯法解题的关键要素

确定了问题的解空间结构后，回溯法将从开始结点(根结点)出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。开始结点成为活结点，同时也成为扩展结点。在当前的扩展结点处，向纵深方向搜索并移至一个新结点，这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前的扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前的扩展结点就成为死结点。此时应往回移动(回溯)至最近的一个活结点处，并使其成为当前的扩展结点。回溯法以上述工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。

运用回溯法解题的关键要素有以下三点：

(1) 针对给定的问题，定义问题的解空间；

(2) 确定易于搜索的解空间结构；

(3) 以深度优先方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

递归和迭代回溯

一般情况下可以用递归函数实现回溯法，递归函数模板如下：

void BackTrace(int t) {

if(t>n)

Output(x);

else

for(int i = f (n, t); i <= g (n, t); i++ ) {

x[t] = h(i);

if(Constraint(t) && Bound (t))

BackTrace(t+1);

}

其中，t 表示递归深度，即当前扩展结点在解空间树中的深度；n 用来控制递归深度，即解空间树的高度。当 t>n时，算法已搜索到一个叶子结点，此时由函数Output(x)对得到的可行解x进行记录或输出处理。用 f(n, t)和 g(n, t)分别表示在当前扩展结点处未搜索过的子树的起始编号和终止编号；h(i)表示在当前扩展结点处x[t] 的第i个可选值；函数 Constraint(t)和 Bound(t)分别表示当前扩展结点处的约束函数和限界函数。若函数 Constraint(t)的返回值为真，则表示当前扩展结点处x[1:t] 的取值满足问题的约束条件；否则不满足问题的约束条件。若函数Bound(t)的返回值为真，则表示在当前扩展结点处x[1:t] 的取值尚未使目标函数越界，还需由BackTrace(t+1)对其相应的子树做进一步地搜索；否则，在当前扩展结点处x[1:t]的取值已使目标函数越界，可剪去相应的子树。

采用迭代的方式也可实现回溯算法，迭代回溯算法的模板如下：

void IterativeBackTrace(void) {

int t = 1;

while(t>0) {

if(f(n, t) <= g( n, t))

for(int i = f(n, t); i <= g(n, t); i++ ) {

x[t] = h(i);

if(Constraint(t) && Bound(t)) {

if ( Solution(t))

Output(x);

else

t++;

}

else t− −;

}

在上述迭代算法中，用Solution(t)判断在当前扩展结点处是否已得到问题的一个可行解，若其返回值为真，则表示在当前扩展结点处x[1:t] 是问题的一个可行解；否则表示在当前扩展结点处x[1:t]只是问题的一个部分解，还需要向纵深方向继续搜索。用回溯法解题的一个显著特征是问题的解空间是在搜索过程中动态生成的，在任何时刻算法只保存从根结点到当前扩展结点的路径。如果在解空间树中，从根结点到叶子结点的最长路径长度为 h(n)，则回溯法所需的计算空间复杂度为 O(h(n))，而显式地存储整个解空间复杂度则需要O(2h(n))或O(h(n)!)。

子集树与排列树

当给定的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间树称为子集树。例如，n个物品的0-1 背包问题所对应的解空间树是一棵子集树，该类树通常有2n个叶子结点，总结点数为2n+1- 1，遍历子集树的任何算法需要的计算时间复杂度均为O(2n)。

回溯法搜索子集树的一般算法描述如下：

void BackTrace(int t) {

if(t>n)

Output(x);

else

for(int i = 0; i <= n; i++) {

x[t] = i;

if(Contraint(t) && Bound(t))

BackTrace (t + 1);

}