因数

数学术语

因数（英语：factor）也称约数、因子、除子（divisor），用于描述整数之间存在的整除关系：整数n的因数是一个非零整数m，使得m乘上某个整数后可以得到n，此时也称n是m的一个倍数。

定义

设均为整数且非零，如果存在整数满足，我们就称是的一个因数，记作。此时我们也称是的一个倍数，或称整除。如果不是的因数，则记作。

永远是整数的因数，它们称为整数的平凡因数。不是平凡因数的因数称为非平凡因数。设为大于1的整数，如果没有非平凡因数，则称为素数，反之则称为合数。

若干整数公有的因数称为它们的公因数，其中最大的那个相应称为它们的最大公因数。

基本例子

2是6的因数，因为有。因此我们可以记，说6是2的倍数，或者说2整除6。

6的非平凡因数为2，-2，3，-3，所以6是合数。

3的因数只有1，-1，3，-3，没有非平凡因数，因此是素数。

12的正因数为1，2，3，4，6，12。

相关性质和定理

以下是整除性的几条基本性质：

若且，则。

若且，均为整数，则。然而，若且，均为整数，则不一定成立，例如且，但。

若是素数且，则或。

算数基本定理

每个大于1的整数可唯一地（计重数但不计顺序）分解为其素因数的乘积。作为推论，整数的正因数都是其一些素因数的乘积。

因数个数

正整数的正因数个数记为。它是一个乘性函数，即若互素，则有。注意，对于不互素的，这一关系未必成立。例如，的正因数有1，2，3，6共4个，且；同时。如果

是正整数的素因数分解，那么

我们有估计。同时还有

其中是欧拉常数。该结果的一种解释是，随机选择的正整数的正因数个数平均约为。

因数和

正整数的正因数之和记为。它也是一个乘性函数。如果

是正整数的素因数分解，那么

辗转相除法

辗转相除法是一种计算两数最大公因数的递归算法。其算法是首先用较大数除以较小数，之后递归用出现的余数去除除数，直至除尽。最后的除数就是这两个数的最大公约数。辗转相除法的实质如下：如果整数而用带余除法表为则有

在环中的推广

因数的许多相关概念在环中有自然的推广。设为环，。

如果存在使得，就称是的左因子而是的右倍数；同理可定义右因子和左倍数的概念。

如果同时是的左、右因子，则称其为双边因子。

对零因子相关定义略有改动：如果存在使得，则称为左零因子；条件改作则称右零因子。左零因子和右零因子统称为零因子。

交换环上的因子不分左右，统称为因子，用符号表示是的因子。

无非零的零因子的非零交换环称为整环，它是整数环的抽象化，很好地继承了整数环的整除性质。以下均设为整环。整环中的元素如果满足且，则称它们为相伴的。相伴关系是一个等价关系。两元素相伴当且仅当它们差一个中元素。在整除性问题中显然不起作用, 故引进商幺半群，以表示的像。整除性赋予偏序：。

如果的像在中有上确界，为其原像，则称是的最大公因子；按上确界定义是唯一的。如果的最大公因子为1，则称它们互素。

整环中的非零元如果满足且或，则称为素元。这是素数性质的抽象化。

整环中的非零元如果满足且在中蕴含或，则称为不可约的。不可约性仅取决于在中的像。

如果中的每个元素都能唯一地（计重数但不计顺序）写为不可约元的像的乘积，则称为唯一分解环。众所周知整数环是唯一分解环：这无非是算术基本定理。因此唯一分解性是算术基本定理的推广。

历史

因数的概念可以追溯到古埃及和巴比伦等文明，例如埃及人使用因数来解决与土地测量和分配有关的实际问题。古希腊数学家欧几里得在他的著作《几何原本》中详细讨论了因数和素数的性质。他提出了著名的“辗转相除法”计算两个数的最大公因数。中国的《九章算术》中讨论了分数的运算法则和比例算法，这些都涉及因数的概念。

应用

给定两个整数，很容易计算它们的乘积。但是，给定一个大整数（比如100位数以上的整数），找出它的素因数分解在计算上是非常困难的。整数分解目前没有已知的多项式时间算法，虽然也还没有人证明这种算法不存在。这就是许多现代密码系统的关键所在。如果能够找到解决整数分解问题的快速方法，几个重要的密码系统将会被攻破，包括RSA加密算法。

全国各地天气预报查询

上海市

云南省

云南省

云南省

云南省

云南省