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托兰定理

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在图论中, 托兰定理是 K_(r+1)-free 图中边数的结果。

定理描述
令G为具有n个顶点的任何图，使得G为K_(r+1)-free。 那么G中的边数最多为
等效表达如下：
在没有(r+1)点团的n个顶点的简单图中，T(n,r)的边数最大。
证明
令G为不具有(r+1)点团且具有最大边数的n顶点的简单图。
概述：我们在证明之前进行简要概述，以下的证明包括两个关于G的声明。
第一个声明是G必须是完全r部图（尽管下面会更详细地说明）。换句话说，我们可以将顶点集划分为r个子集S_1, S_2, … , S_r, 这样，如果两个顶点在不同的集合S_i 和 S_j 中，则它们之间有一条边，但是如果它们是在同一组中，那么它们之间就没有任何边。
第二个声明是这些集合S_i 的大小彼此相差最多1。例如，如果我们要在23个顶点上绘制图，而且有最多的边但不包含三角形，则可以对这些顶点进行划分分为集合 S_1 和 S_2，其中 | S_1 | = 12， | S_2 | = 11。我们将两组之间的所有边相加，因此图形将具有11 * 12 = 132条边。这与定理匹配，该定理说G最多具有条边。
下面证明两个声明。
声明1：图G不包含任何三个顶点u,v,w，使得G包含边uv，但不包含边uw和vw。 （此声明等同于关系x~y，如果x与y不相关，则为等价关系。〜总是自反且对称的，但仅在特殊情况下，它是可传递的。~当我们具有u,v,w与u~w和w~v而没有u~v）。
假设声明是错误的。构造一个不包含(r+1)点团但具有比G多的边的新n顶点简单图G'，如下所示：
情况1： 或者
假设，删除顶点w并创建顶点u的复制（所有邻居都与u相同）；称它为u'。新图中的任何点团最多在{u,u'}中包含一个顶点。因此，此新图不包含任何(r+1)点团。但是，它包含更多的边：
情况2：且
删除顶点u和v并创建顶点w的两个新复制。同样，新图不包含任何(r +1)点团。但是，它包含更多的边：
这证明了声明1。
这种说法证明，可以根据非邻居将G的顶点划分为等价类。也就是说，如果两个顶点不相邻，则它们在同一个等价类中。这意味着G是一个完全多部图（其中部分是等价类）。
声明2：如果部分的大小相差最多1个，则完全k部图中的边数将最大化。
如果G是具有A和B以及的完全k分图，则可以通过将顶点从A移动到B来增加G中的边数。通过将顶点从A移动到B，图将失去 |B| 边数，但获得 |A|-1 条边。因此，它至少获得了条边。这证明了声明2。
该证明表明Turan图具有最大数量的边。此外，证明表明只有托兰图是具有最大边数的图。
特殊情形
下面对于托兰定理 r=2 的著名情形给出证明。该情形也称作Mantel's theorem。
定理表述
在不存在三边回路的n顶点图中，边数最大为。
换句话说，必须删除K_n中几乎一半的边才能获得无三角图。
Mantel定理的加强
任何至少具有条边的哈密顿图必须是完整的二分图K(n/2),(n/2)或必须是全圈形的：不仅包含三角形，而且还必须包含所有其他可能长度到顶点数为止的回路（Bondy 1971）。
Mantel定理的另一项加强说明，每个n顶点图的边最多可以被点团覆盖，它们可以是边或三角形。 作为推论，相交数最多为（Erdős，Goodman＆Pósa1966）。
Mantel定理的证明
设A为n个点中，向外连线最多的点，设它向外连k条线，则与A相连的点之间不允许连线
而剩余(n-1-k)中的任意一点不可能向外连线数大于k，设这些点连线总数为y，则有
当时，y是整数，所以y的最大值为
所以。
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