图着色问题

数学学科术语

图着色问题（Graph Coloring Problem, GCP）又称着色问题，是最著名的NP-完全问题之一。道路着色问题（Road Coloring Problem）是图论中最著名的猜想之一。

简介

图的m-着色判定问题——给定无向连通图G和m种不同的颜色。用这些颜色为图G的各顶点着色，每个顶点着一种颜色，是否有一种着色法使G中任意相邻的2个顶点着不同颜色?

图的m-着色优化问题——若一个图最少需要m种颜色才能使图中任意相邻的2个顶点着不同颜色，则称这个数m为该图的色数。求一个图的最小色数m的问题称为m-着色优化问题。

路线着色问题

G是一个有限有向图并且G的每个顶点的出度都是k。G的一个同步着色满足以下两个条件：

1)G的每个顶点有且只有一条出边被染成了1到k之间的某种颜色；

2)G的每个顶点都对应一种走法，不管你从哪里出发，按该走法走，最后都结束在该顶点。

有向图G存在同步着色的必要条件是G是强连通而且是非周期的。一个有向图是非周期的是指该图中包含的所有环的长度没有大于1的公约数。路线着色定理这两个条件(强连通和是非周期)也是充分的。也就是说,有向图G存在同步着色当且仅当G是强连通而且是非周期的。

道路着色问题（Road Coloring Problem）是图论中最著名的猜想之一。通俗的说，这个猜想认为，可以绘制一张“万能地图”，指导人们到达某一目的地，不管他们原来在什么位置。这个猜想最近被以色列数学家艾夫拉汉· 特雷特曼(Avraham Trahtman)在2007年9月证明。

特雷特曼在数学上的这一成果极为令人瞩目，英国《独立报》为此事专门发表了一篇题为“身无分文的移民成了数学超级明星”的文章，给予了高度的评价。

以色列人也为特雷特曼取得的成就感到无比的骄傲。特拉维夫电视台中断了正常的节目播放，以第一时间发布了这一重大消息，连中东其他国家的主流媒体也作了大篇幅的相关报道。

得知特雷特曼解决这一难题的消息后，多年从事路线着色问题研究的加拿大数学家乔尔·弗里德曼说，“路线着色问题的解决令数学共同体非常兴奋。”读过特雷特曼论文的中国数学家和语言学家周海中教授认为，特雷特曼的数学知识非常渊博，解题方法十分巧妙，这一谜题得到破解，无疑是数学史上的一个华彩乐章。

算法

点着色问题有简单的时间复杂度为O(3^n)的算法，即设f(S)表示集合的色数，则。

算法描述

color[n]存储n个顶点的着色方案，可以选择的颜色为1到m。

当t=1时，对当前第t个顶点开始着色：若t>n，则已求得一个解，输出着色方案即可。否则，依次对顶点t着色1-m，若t与所有其它相邻顶点无颜色冲突，则继续为下一顶点着色；否则，回溯，测试下一颜色。

寄存器分配技术

利用相交图（interference graph）来表示程序变量的生命期是否相交，将寄存器分配给变量的问题，可近似地看成是给相交图着色：相交图中，相交的节点不能着同一颜色；每一种颜色对应一个寄存器。Chaitin等人最早提出了基于图着色的寄存器分配方法其着色思路采用了Kempe的着色方法，即，任意一个邻居节点数目少于k的节点，都能够被k着色。判断一个图是否能够被k(k>=3)种颜色着色，即k着色问题，被Karp证明是一个NP-complete问题。

但是，寄存器分配不仅仅是图着色的问题。当寄存器数目不足以分配某些变量时，就必须将这些变量溢出到内存中，该过程成为spill。最小化溢出代价的问题，也是一个NP-complete问题。如果简化该问题——假设所有溢出代价相等，那么最小化溢出代价的问题，等价于k着色问题，仍然是NP-complete问题。

此外，若两个变量的生命期仅因为在同一个拷贝指令中而相邻，那么，通过将这两个变量分配到同一个寄存器，就可以消除该拷贝指令，成为coalescing。这个方向的努力在Chaitin的文章以后的1/4个世纪，成为推动寄存器分配的主要动力之一，涌现出了包括aggressive coalescing,conservative coalescing和optimistic coalescing。但是，将两个变量分配到同一个寄存器，等价于将这两个变量合并成同一个变量，生命期合并，因而会加剧相交图的聚簇现象，降低相交图的可着色性。Bouchez等人证明了coalescing问题都是NP-complete的。

为降低相交图的聚簇现象，提高相交图的可着色性，可通过将变量拷贝给一个临时变量，并将以后对该变量的使用替换成对该临时变量的使用，从而将一变量的生命期分解成两个变量的生命期，称为live range splitting。显然，这是一个与coalescing的作用相反的过程。Bouchez等人考虑了该方法的复杂度。

此外，寄存器分配还需要考虑寄存器别名(aliasing)和预着色(pre-coloring)的问题。寄存器别名是指，在某些体系结构中，一个寄存器的赋值可能会影响到另外一个寄存器。比如，在x86中，对AX寄存器的赋值，会影响AL和AH寄存器。预着色是指，某些变量必须被分配到特定的寄存器。比如，许多体系结构会采用特定寄存器来传递函数参数。

George和Appel发展了Chaitin的算法，更好地考虑了coalescing过程和赋值过程，以及各过程之间的迭代，在基于图着色的寄存器分配方法中具有广泛的影响。

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