循环排列

排列的一种

循环排列（circular permutation）亦称圆排列、环排列等。是排列的一种，指m个数中选n个个不同的元素排列成一个环形，既无头也无尾。两个循环排列相同当且仅当所取元素的个数相同并且元素取法一致，在环上的排列顺序一致。

简介

几个图形按一定的规律不断重复变化地排列，我们叫这种排列为循环排列规律，如1，2，3，

1、从1开始，然后顺延，123；

2、从2开始，然后顺延，231；

3、从3开始，然后顺延，312。

在日常生活中和实际应用中，有时需要将元素排在封闭的曲线上。例如，庆祝节日将彩色电灯排成一个五角星形或一个圆环形；展览会展出的商品中，有用钻石穿成的项圈和臂镯；开展文娱活动时，往往围成一个圆环形进行演唱；成品加工时，有的工序安排一个圆环形，进行流水操作，像这样元素环绕在一条封闭曲线上的排列，叫做循环排列。

如果五角星形的五个顶点，固定为V1,V2,V3,V4,V5，或者如图1的圆周上编定n个不同位置的号码为1,2,…,n，这样，从m个相异元素里选出五个元素排在五角星形的五个顶点上，或者选出n个元素排在这圆周上，这与直线排列实无区别。但是循环排列，一般是不固定每个位置的号码的，在这种情况下，它与直线排列就有所不同了。

例如，将a,b,c,d,e五个元素排列在圆周上，确定其中的一种，然后将各元素依顺时针（或逆时针）方向绕圆周转动一个位置，连续转动四次（转动五次就恢复到原来的位置），如图2所示。连同开始的一种共得五种，在这五种排列里，元素所占的位置虽然有所改变，但元素之间的相对顺序依旧未变。从a开始按顺时针方向都是abcde，所以在循环排列里，这五种排列只能算作一种排列。设想在上面五个图中的同一个方向上，如从左往右，第一个图的e与a之间，第二个图的d与e之间，第三个图的c与d间，第四个图的b与c间，第五个图的a与b间，把各圆周剪断，并将圆周拉成直线，则成五种不同的直线排列，它们是abcde，eabcd，deabc，cdeab，bcdea。可知五个元素的一种循环排列，对应着五种直线排列。反之，将这五种直线排列，再弯回成圆周，则又变成一种循环排列。理由很简单，循环排列没有首末之分，这五个元素随便从哪一个元素开始，绕一个方向转过去，都不改变它们的相对顺序；直线排列则首末分明，原来排末位，调换排首位，已改变它们的相对顺序。循环排列与直线排列的主要区别就在这一点上。

计算公式

从上文例子可以知道，五个元素的循环全排列中的一种，变成直线排列则有5种，设循环排列有x种，则直线排列有5x种，但五个元素的直线全排列有5！种，所以得到

显然，推广到m个相异元素，它的循环全排列的种数（设为x），仍可仿此得到，即

我们知道，从m个相异元素里，选出n个元素的直线排列的种数是，这个等式的右边表明可以先按组合选出n个元素，然后再将选出的n个元素进行全排列，这样，从m个元素里选出n个元素的循环排列，也可以按组合选出n个元素，然后将选出的n个元素进行循环全排列。设它的全排列种数为x，因为n个元素的循环全排列种数为（n-1）！，所以得到

在直线排列里，abcd与dcba是两种不同的排列，这是作为平面问题来处理的。如图3，半平面P按轴 l 翻转180°，落在半平面Q的位置，这时abcd称为dcba，就是说，如果不考虑元素从左到右与从右到左的方向，这两种排列只能算一种排列。因为在生产实践中很少遇到这种情况，所以我们没有这样处理直线排列问题。

在循环排列里，图4是两种不同的排列，这也是作为平面问题来处理的。如果作为空间问题来处理，则圆面P按轴 l 翻转180°，落在圆面Q的位置，这时abcd成为adcb，就是说，如果不考虑元素按顺时针的方向与按逆时针的方向，这两种排列只能算一种排列。在生产实践中要碰到这种情况。例如，圆形零件上均匀分布形式不一的小孔，就属这种问题，遇到这种情况，使用公式计算式，需要再除以2，即四个相异元素不计顺、逆时针方向的循环排列种数为

一般的，m个相异元素的循环全排列、m个相异元素里每次取出n个元素的循环排列，在不计顺、逆时针方向时，它们的排列种数（设为x）分别是

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