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圆面积公式

数学计算公式

圆面积公式是已知圆的半径时，求圆的面积所使用的公式。圆的面积=圆周率×半径的平方。用字母可以表示为S=πR2，其中π为圆周率，是一个常数，约等于3.141592654；r为所求面积的圆的半径。公式也可改写为S=1/4*πd2，其中d为该圆的直径。

公式形式
或者
发展简史
，约等于3.1695。
约公元前四世纪，古希腊数学家欧多克斯发现，圆的面积与直径的平方成正比，但是并没有给出比例系数。同时，他也发明了“穷竭法”，即构造内接多边形序列，并使这些多边形的面积收敛于所求图形的面积的方法。
公元三世纪，魏晋时期数学家刘徽也提出了正确的圆面积公式“半周半径相乘，得积步”。他还采用“割圆术”，通过切割圆并外接正多边形的方法，求出圆面积的近似值，并以此将圆周率计算到小数点后四位，即3.1416。
公式推导
切割重排法
当切割的份数越多，每个小扇形越接近于一个三角形，形成的图形就越接近于一个长方形。
长方形的长近似于周长的一半，宽近似于半径，而长方形面积=长×宽。又因为周长C=2πr，长方形的长为πr。长方形与原来的圆形面积想等，所以S圆=S长方形。
半圆积分法
，求出上半圆的面积再乘以二就是圆的面积。
作代换，令，于是。再由上半圆的对称性，有：
极坐标法
令，将直角坐标系转化为极坐标系进行积分。
相关公式
半圆面积：
圆环面积：
扇形面积：
：若圆心角采用弧度单位，圆心角为α，。其中l为扇形的弧长，弧长=半径×圆心角弧度，即
球面积
球体积
公式拓展
k维球
，设k维球体的体积和面积为。
之间的关系。
。二维球体积（圆面积）等于二维椎体体积（三角形面积）之和，则有：
。三维球体积等于三维椎体体积之和，则有：
并且 分别与自身线度的 (k-1) 次方成正比。又 相似, 线度之比为 h: R , 于是有
即得
把k维球分解为无穷个小(k-1)维锥体，即得之间的关系为：
的递归关系以及的递归关系
，圆半径为的薄圆板。因，所以。薄圆板的周长和面积分别为二维球的面积和体积。对薄板进行积分，得到：
k球的面积和体积分别与成正比。可以记作：
代入(2)、(3)式，可得
结合上面两个式子，可以得到
结合(1)式，得到、
取k=2N+1，由(6)得到
也就是
同理，可以写得
对与 , 一维球是一个线段, 两个端点是它的面, 面积 . , 对于 , 求面积 。代入公式 (7) 至 (10), 可以得到最终表达式：
，也就是圆面积公式。
研究进展
无穷级数法
蒙特卡洛法
。在正方形内随机生成N个点，统计落在圆内的点数M。由概率的定义，当N逐渐增大时，收敛于，所以N很大时，可通过公式
近似计算圆周率。
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