地图投影变形

测绘学术语

地图投影变形是指将地球表面不可展平的曲面投影到可展曲面的平面上所产生的长度、面积或角度的变形与误差。一般情况下三种变形同时存在，特殊情况下可使其中一项保持不变，即角度无变形、面积无变形或特定方向上长度无变形。

相关术语

(1)长度比：地面上微分线段投影后的长度ds'与其相应的实地长度ds之比。如用符号μ表示长度比，那么

(2)长度变形：长度比与1之差值。如用符号表示长度变形，则

投影后长度变形绝对量γ表示为

当γ>0或μ>1l时，表示投影后长度增加；当γ<0或μ<1时，表示投影后长度缩小；当γ=0或μ=1时，表示投影后长度不变。

投影上的长度比不仅随该点的位置而变化，而且随着该点上不同方向而变化。这样，在一定点上的长度比必存在有最大值和最小值，称其为极值长度比，通常用符号a和b表示极大与极小长度比。极值长度比的方向称为主方向。沿经线和纬线方向的长度比分别用符号m、n表示。在经纬线正交投影中，沿经纬线方向的长度比即为极值长度比，此时m=a或b，n=b或a。

(3)面积比：地面上微分面积投影后的大小dF'与其相应的实地面积dF的比称为面积比，通常用符号P表示，即

(4)面积变形：面积比与1之差值。用符号表示面积变形，则

投影后面积变形绝对量V表示为

当V>0或P>1时，表示投影后面积增加；当V<0或P<1时，表示投影后面积缩小；当V=0或P=1时，表示投影后面积不变。

(5)角度变形：地面上某一角度投影后的角值β'与其实际的角值β之差，即β'-β。在一定点上，方位角的变形随不同的方向而变化，所以一点上不同方向的角度变形是不同的。投影中，一定点上的角度变形的大小是用其最大值来衡量的，即称最大角度变形，通常用符号叫表示。存在以下关系式：

(6)变形椭圆：地球面上无穷小圆在投影年通常不可能保持原来的形获葙大小，而是投影成为不同大小的圆或磐种形状大小的椭圆，统称为变形椭圆。

(7)等变形线：投影上变形值相等的点的连线，有面积比等值线、最大角度变形等值线等。地图投影略图上绘有等变形线，用以直观评价地图投影的变形分布状况和投影使用的优劣。在地图制图实践中为了获得具有较小的变形及其在制图区域内变形分布最均匀的投影，提出使投影上的等变形线与制图区域的轮廓形状基本一致的要求，并把它作为投影选择上的一个基本原则。

原因

地球球面是一个不可展的曲面，不可能无裂隙、无重叠地展成平面。如果我们将地球仪沿经线或纬线切成若干窄条，在某点或某条线处连接，就可以展成平面。但这种支离破碎的图形对我们来说毫无意义，必须运用一定的数学方法对重叠部分进行“压缩”，对裂开部分进行“拉伸”，从而构成一幅连续而完整的地图。显然，在经过“压缩”和“拉伸”的地图上，经纬线形状与地球仪上不一致，产生了投影变形。球面展开和连接方式不同，经纬线网形状及变形情况也不同。

在图1上，所有经线长度相等，且等于球面上的经线长度，无长度变形；所有纬线长度也相等，因此存在着长度变形。在南北纬45°之间，纬线被压缩，长度小于球面上相应的长度，而在南北纬45°之外，纬线被拉伸，长度大于球面上相应的长度，不同纬度处，纬线长度变形的大小不同。在图2上，纬线没有被拉伸和压缩，没有长度变形；经线被拉伸后，长度不等，由中央经线向两侧逐渐增大，故经线存在着长度变形，而且经度不同，长度变形的大小也不同。在图3上，经线没有被拉伸和压缩，长度没有变形；纬线被拉伸后，除极点外，其余各条纬线长度均大于球面上相应的纬线长度，故纬线存在着长度变形。显然，地图投影存在着长度变形，不同的投影，长度变形的情况不同；在同一投影中，长度变形不仅随地点的不同而变化，而且在同一地点上还随方向的不同而变化。

在图1上，同一经度带内，纬差相同的网格面积相等，而地球仪上相应的网格面积却随纬度的升高而逐渐减小，故存在着面积变形，在图2上，同一纬度带内，经差相同的网格面积不等，离中央经线越远，网格面积越大，而地球仪上相应的网格面积却相等，故也存在着面积变形。显然，地图投影存在着面积变形，不同的投影，面积变形的情况不同；在同一投影中，面积变形随地点的不同而变化。

在图2上，除中央经线和赤道正交外，其余经纬线均不正交，而地球仪上经纬线处处正交。显然，地图投影存在着角度变形，而且，不同的投影，角度变形的情况不同；在同一投影中，角度变形随地点和方向的不同而变化。

由上可知，任何地图投影都存在着变形，制图区域越大，变形也越大；在地图上存在着长度变形、面积变形和角度变形，不同的投影，变形的情况不同，在同一投影中，变形随地点、方向的不同而变化；任何投影的变形都有一定的变化规律。因此，我们在编图时，要根据需要选择地图投影，控制投影变形的性质、大小和分布，而在使用地图时，同样要了解地图投影的变形性质和规律，正确阅读和使用地图。

分类

地图投影的方法很多，用不同的投影方法得到的经纬线网形式不同。用地图投影的方法将球面展为平面，虽然可以保持图形的完整和连续，但它们与球面上的经纬线网形状并不完全相似。这表明投影之后，地图上的经纬线网发生了变形，因而根据地理坐标展绘在地图上的各种地面事物，也必然随之发生变形。这种变形使地面事物的几何特性(长度、方向、面积)受到破坏。把地图上的经纬线网与地球仪上的经纬线网进行比较，可以发现变形表现在长度、面积和角度三个方面，分别用长度比、面积比的变化显示投影中的长度变形和面积变形。如果长度变形或面积变形为零，则没有长度变形或没有面积变形。角度变形即某一角度投影后角值与它在地球表面上固有角值之差。

投影变形通常包括三种，即长度变形、面积变形、角度变形。

(1)长度变形。即投影后地图上的经纬线长度与椭球体上经纬线的长度并不完全相同，地图上的经纬线长度也并不都是按照同一比例缩小的，这表明地图上具有长度变形。

在地球仪上经纬线的长度具有下列特点：第一，纬线长度不等，其中赤道最长，纬度越高，纬线越短，极地的纬线长度为零；第二，在同一条纬线上，经差相同的纬线弧长相等；第三，所有的经线长度都相等。长度变形的情况因投影而异。在同一投影上，长度变形不仅随地点而改变，在同一点上还因方向不同而不同。

(2)面积变形。即由于地图上经纬线网格面积不是按照同一比例缩小的，上具有面积变形。面积变形的原因与长度变形直接相关。

在椭球体上，经纬线网格的面积具有下列特点：第一，在同一纬度带内，网格面积相等；第二，在同一经度带内，纬度越高，网格面积越小。这表明地图经差相同的面积变形的情况因投影而异。在同一投影上，面积变形因地点的不同而不同。

(3)角度变形。是指投影面上任意两方向线所夹之角与原球面上相应的角度之差。角度变形有正有负，是一个变量，它随着点位和方向的变化而变化。

地图投影的变形随地点的改变而改变，因此在一幅地图上，很难笼统地说它有什么变形、变形有多大。

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