垂直

数学术语

垂直，是指平面上一条线与另一条线相交并成直角，这两条线互相垂直。通常用符号“⊥”表示。

介绍

两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫垂足。

拓展：两条直线、两个平面相交，或一条直线与一个平面相交，如果交角成直角，叫做互相垂直。

陆定一《老山界》：“﹝路﹞果然陡极了，几乎是九十度的垂直的石梯，只有一尺多宽。”

直角

在几何学和三角学中，直角，又称正角，是角度为90度的角。它相对于四分之一个圆周（即四分之一个圆形），而两个直角便等于一个半角(180°)。角度比直角小的称为锐角，比直角大而比平角小的称为钝角。

一个直角等于90度，符号：Rt∠。

性质

①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂直一定会出现90°。

② 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。

③点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

向量垂直

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中称标量）。

向量的记法：印刷体记作粗体的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

设有两个向量和，根据夹角公式知，的充要条件是。其中，表示两向量之间的夹角。若将向量用坐标形式表示，记，，则。

垂直度

垂直度(Perpendicularity)是位置公差。垂直度评价直线之间、平面之间或直线与平面之间的垂直状态。其中一个直线或平面是评价基准，而直线可以是被测样品的直线部分或直线运动轨迹，平面可以是被测样品的平面部分或运动轨迹形成的平面。

当基准是直线，被评价的是直线时，垂直度是垂直于基准直线且距离最远的两个包含被测直线上的点的平面之间的距离；

当基准是直线，被评价的是平面时，垂直度是垂直于基准直线且距离最远的两个包含被测平面上的点的平面之间的距离。

当基准是平面，被评价的是直线时，垂直度是垂直于基准平面和评价方向，且距离最远的两个包含被测直线上的点的平面之间的距离。

当基准是平面，被评价的是平面时，垂直度是垂直于基准平面且距离最远的两个包含被测平面上的点的平面之间的距离。

垂直问题

对于立体几何中的垂直问题，主要涉及到线面垂直问题与面面垂直问题，而要解决相关的问题，其难点是线面垂直的定义及其对判定定理成立的条件的理解;两平面垂直的判定定理及其运用和对二面角有关概念的理解。

线面垂直，找线线垂直

例1，如图1，在空间四边形ABCD中，E,F分别是AD,BC中点，若AC=BD=a，EF= ，角BDC = 90度，求证:BD⊥平面ACD。

分析：证明线面垂直，需要找线线垂直，创造所得线线垂直的条件。

解答：如图1，取 AB的中点M，连结 ME、MF，因为 E、F分别是 AD、BC中点，所以ME∥BD，且ME=1/2*BD。MF∥AC且MF=1/2*AC又因为 AC=BD =a，所以 ME =MF =1/2*a。因为 EF = 。因为，所以FM⊥ME，而 MF∥AC，ME∥BD，所以AC ⊥BD。又因为角BDC=90度，所以 BD⊥CD，而 CD交AC 于C，所以BD⊥平面 ACD。

点评：线面垂直可以通过线线垂直加以判断与证明。

线面垂直，结合面面垂直

如图 2，已知AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于 A、B的任一点，求证：平面 PAC⊥面PBC。

分析：根据面面垂直的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面内寻找一条与另一平面垂直的直线即可。

解答：因为AB是圆O的直径，所以AC⊥BC．又因为PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BC，所以 BC⊥平面 PAC，又 BC在平面 PBC内，所以，平面 PAC⊥平面 PBC。

点评：由于平面 PAC与平面 PBC相交于PC，所以如果平面 PAC⊥平面 PBC，则在平面PBC内，垂直于 PC的直线一定垂直平面PAC，这是寻找两个平面的垂线的常用方法。

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