埃尔米特形式

数学术语

埃尔米特形式（Hermite Normal form）是复流形上的一种特殊双线性形式。

基本简介

在线性代数中，埃尔米特形式是整数Z上矩阵的简化阶梯形式的一个类似形式。就像简化的阶梯形式可以用来解决关于线性系统的解的问题Ax = b其中x在Rn中，埃尔米特形式可以解决关于线性系统Ax = b的解的问题，其中这个时间x仅限于具有整数坐标。埃尔米特形式的其他应用包括整数规划、密码学，和抽象代数。

形式定义

行埃尔米特形式

如果存在平方单模矩阵U，其中H = UA且H具有以下限制，则具有整数项的m×n矩阵A具有（行）埃尔米特形式（HNF）H：

第三个条件在作者之间不是标准的，例如有些来源强迫非枢轴是非正的或者对它们没有任何的标志限制。然而，这些定义是通过使用不同的单模矩阵等效U。甲幺模矩阵是一个正方形可逆整数矩阵，其行列式是1或-1。

列埃尔米特形式

如果有一个正方形的单模矩阵U，其中H = AU和H有以下限制，那么具有整数项的m×n矩阵A具有（列）Hermite范式（HNF）H：

请注意，行样式定义具有在左边乘以A的单模矩阵U（意味着U在A的行上作用），而列样式定义在A的列上具有单模矩阵行为。Hermite范式的两个定义只是彼此的转置。

存在性唯一性

每个具有整数项的m×n矩阵A具有唯一的m×n矩阵H（HNF），使得对于某个平方单模矩阵U，H = UA。

示例

在下面的例子中，H是矩阵的埃尔米特正常形式A，和U是单模矩阵，使得UA = H。

如果A只有一行，则H = A或H = -A，取决于A的单行是否具有正的或负的超前系数。

算法

有许多算法计算可追溯到1851年的Hermite标准形式。直到1979年，才开始计算在强多项式时间运行的Hermite标准形式的算法;也就是说，计算Hermite范数的步数由输入矩阵的维数中的多项式来界定，算法所使用的空间（中间数）由二进制编码中的多项式输入矩阵中数字的大小。一类算法是基于高斯消元的，因为特殊的基本矩阵被重复使用。所述的LLL算法也可以用来有效地计算Hermite范式。

应用程序

格子计算

典型的晶格中具有形式其中是。如果矩阵A的列是，则格可以与矩阵的列相关联，并且A被认为是L的基础。由于Hermite范式是唯一的，所以可以用来回答关于两个格点描述的许多问题。接下来，表示由A的列生成的格。因为基础在矩阵A的列中，所以必须使用列式Hermite范式。给定一个格点A和A'的两个基础，等价问题是决定是否这可以通过检查A和A'的列式Hermite标准形式是否相同直到添加零列来完成。这个策略对于决定格是否是一个子集也是有用的当且仅当），判断一个向量v是否在一个格中（当且仅当）和其他计算。

整数解线性系统

线性系统Ax = b的具有整数解X当且仅当所述系统具有整数溶液y其中Uy的= X和H是列式的隐士正常形式H。检查Hy = b是否具有整数解比Ax = b容易，因为矩阵H是三角形的。

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