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基变量

线性规划问题

对于线性规划问题：min cTx，s.t.Ax=b，x≥0，其中m≤n，且m×n矩阵A的秩为m。由矩阵A的m个线性无关的列向量组成的m阶方阵，记为B，称之为基。一个基相应的变量x中的m个分量，叫作基变量(basic variable)，记为xB (∈Rm)。

基本介绍
基变量是从线性规划标准式的n个设计变量中划分出来的，已经或试图通过m个等式约束用其余变量线性表示的m个设计变量。常记为xB。其余的n-m个设计变量称为非基变量，常记为xN。令xN =0，若能由m个等式约束解得xB，则称 (xB，xN)为问题的一个基本解。相应于设计变量的划分，等式约束系数矩阵也划分为B和N两部分(B为可逆矩阵)，分别称为基矩阵和非基矩阵。B 和N中的列向量又分别称为基向量和非基向量。
相关介绍
考虑标准形式的线性规划问题：
其中A为矩阵，
由于的秩为m，可知A中必存在m个列向量线性无关，不妨就假设A的前m个列向量线性无关，记，B为方阵，。
令，代入（2）式得
所以
于是得到（2）的一个解
设B为A中任一非奇异的m×n阶子矩阵()，则称B为(LP)的一个基；若变量xj所对应的列向量Pj包含在基B中，则称xj为对应于基B的基变量；否则称xj为非基变量。显然基的个数至多个。
设(LP)有一个基，对应地记
令(2)式中非基变量为0，(2)式化为，所以
则称方程组Ax=B的解：
其余。
为对应于基B的基本解，在rank(A)=m的条件下，总存在基本解；当A的行向量线性相关时，没有基本解；显然基本解的个数至多有个。
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