堑堵

算学术语

堑堵是算学术语。是一长方体沿不在同一面上的相对两棱斜解所得的立体，即两底面为直角三角形的三棱柱。其体积公式为：V=abh/2，(其中a，b，h分别是堑堵底面长、宽及高)。

基本介绍

堑堵是一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜解所得的立体，即两底面为直角三角形的三棱柱。最早的文字记载见于《九章算术》“商功”章。《九章算术·商功》刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑。”鳖臑系一四面体，其三面皆为勾股形，梅文鼎称为立三角形。立三角形以其一面为底，其他三面聚于一点为顶点，在顶点旁三侧面的顶角和三侧面间的三个二面角与球面三角形的三弧三角相当。《九章算术》给出其体积公式，其中为底面两直角边，h为高。若则成为三品棋之一。

史书记载

堑堵是沿长方体相对两棱斜解所得的楔形体，下面二段分别是其体积公式：，(其中a，b，h分别是堑堵底面长、宽及高)及刘徽的证明。

①术曰：广袤相乘，以高乘之，二而一。（汉《九章算术·商功》）

②邪解立方得两堑堵。虽复随方*，亦为堑堵，故二而一。此则合所规棋(原本作“幂”，钱宝琮校)，推其物体，盖为堑上叠也。其形如城，而无上广，与所规棋形异而同实。（《九章算术·商功》三国魏·刘徽注）

[注]* 随，音义通椭，椭方即长方体。

刘徽的证明

刘徽原理

为了推证除直线型柱体以外其它直线型立体的体积，在前人的基础上，刘徽提出三种基本几何体，即“堑堵”、“阳马”、“鳖臑 ”。“堑堵”即是底为直角三角形的直棱柱，如商功章第14问刘徽注称：“邪解立方得两堑堵。虽复椭方，亦为堑堵”。“阳马”即是底为正方形或长方形一侧棱与底垂直的四棱锥，如商功章第15问刘徽注称：“阳马之形，方锥一隅也。今谓四柱屋隅为阳马”。“鳖臑”即是侧面都是直角三角形的四面体，如商功章第15问刘

徽注称：“邪解立方得两堑堵。邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”。(如图3、图4、图5)。

刘徽为了推证直线型立体的体积算法，于是提出三种基本几何体，其中“堑堵”体积算法为其三度乘积的二分之一，如刘徽注说：“邪解立方得两堑堵。虽复椭方，亦为堑堵，故二而一”。即

堑堵体积=1/2(长×宽×高)，

但是，为了推求阳马、鳖臑的体积算法，刘徽提出“阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”。这一提法，称之为“刘徽原理”。刘徽还说：“邪解立方得两堑堵。邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”。可见，刘徽深知三度分别相等之阳马与鳖臑体积相加之和为一堑堵体积；而阳马与鳖臑体积之比为二比一。即

阳马体积+鳖臑体积=堑堵体积；

阳马体积：鳖臑体积=2：1。

前一问题，即阳马与鳖臑体积之和为堑堵体积，是十分明显的。如果能证明后一问题的正确性，即证明了阳马与鳖臑体积之比为二比一，也即证明“刘徽原理”的正确性；则不难推出阳马、鳖臑的体积算法。据此，刘徽注说：

“使鳖臑广、袤、高各二尺，用堑堵、鳖臑之綦各二，皆用赤綦。又使阳马之广、袤、高各二尺。用立方之綦一，堑堵、阳马之綦各二，皆用黑綦。綦之赤、黑，接为堑堵，广、袤、高各二尺。于是中效其广、袤，又中分其高，令赤、黑堑堵各自适当一方，高一尺方一尺，每二分鳖臑则一阳马也。其余两端，各积本体，合成一方焉。是为别种而方者率居三，通其体而方者率居一。虽方随綦改，而固有常然之势也。按余数具而可知者有一、二之别，即一、二之率定矣。其于理也岂虚矣。若为数而穷之，置余广、袤、高之数各半之，则四分之2-Y,．可知也。半之弥少，其余弥细。至细日微，微则无形。由是言之，安取余哉。数而求穷之者，谓以情推，不用筹算”。

刘徽按上面所述，利用极限观念证明了“刘徽原理”。即是取两个赤色堑堵模型，两个赤色鳖臑模型，使拼接成一个广、袤、高各二尺的赤鳖臑；再取一个黑色立方模型，两个黑色堑堵模型，两个黑色阳马模型，使拼接成一个广、袤、高各二尺的黑阳马；然后将赤鳖臑与黑阳马相合拼接成一个广、袤、高各二尺的“赤黑堑堵”。中分此“赤黑堑堵”的广、袤、高，则得小黑堑堵二，小赤堑堵二，小黑立方一，和小赤鳖臑二，小黑阳马二；再将两个小黑堑堵拼接成小黑立方一，将两个小赤堑堵拼接成小赤立方一，都是“高一尺，方一尺”，连同原有小黑立方一，共计三立方。在这三立方中，黑立方居二，赤立方居一，也就是属于阳马者二，而属于鳖臑者则一；即两份鳖臑体积相当于一份阳马体积；即是“每二分鳖臑则一阳马也”。此外尚有小赤鳖臑二与小黑阳马二, 可拼接成“小赤一黑堑堵”二，这两个“小赤一黑堑堵”，又可拼接成小立方一;连同前面三立方，共计四立方;在这四立方中，得自阳马或鳖臑的立方者居三，而得自与原“赤黑堑堵”相似的堑堵拼合成立方者则居一。刘徽认为，不拘如何改变这些模型的大小形状，必有这种常然的关系，即“固有常然之势也”。在前面所述三立方中，属于黑阳马者率居二，属于赤鳖臑者率居一，即是“有一、二之别”；也就是“一、二之率定矣”。若再中分“小赤一黑堑堵”的广、袤、高，其中四分之三是可以推算的。如果按照这样分割下去，则“半之弥少，其余弥细。至细日微，微则无形”。于是利用极限观念即可证明了阳马与鳖臑体积之比为二比一。刘徽在进行了一次分割之后，并没有再次进行分割，而是按照“情推”的，也就是用极限观念以及数学原理推导的。因而即是证明了“刘徽原理”的正确性。(如图6、图7)即

阳马:鳖臑=2：1;

又依据阳马与鳖臑体积之和，即

阳马+鳖臑=1/2(长×宽×高)。

于是可得阳马、鳖臑体积算法分别为:

阳马体积=1/3 (长×宽×高);

鳖臑体积=1/6 (长×宽×高)。

以上所说，就是刘徽为了推证直线型立体的体积算法，利用三种基本几何体，以及所创造的“刘徽原理”，从而为论证直线型立体的体积算法奠定了理论基础。

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