壳的计算

薄壳结构广泛应用于各工程技术领域，如建筑工程中的各种薄壳屋盖及薄壳基础。壳体可按壁厚h与壳体中面最小主曲率半径R之比分为薄膜、薄壳及厚壳（包括中厚壳）三类。h/R≤1/20者称为薄壳；h/R＞1/20者称为中厚壳或厚壳；h/R极小，抗弯刚度接近于零者称为薄膜。薄壳的计算理论有基尔霍夫理论与非基尔霍夫理论。壳的基尔霍夫假设与板的基尔霍夫假设相同，非基尔霍夫壳体理论考虑横剪切问题较为严密。目前，在壳体的工程结构计设中普遍采用基尔霍夫理论进行计算。薄壳的计算理论与薄壳的中面形状、构造形式及材料性质有关。薄壳可按中面形状分为旋转壳、球壳、圆柱壳、圆锥壳、双曲面壳、抛物面壳、椭球壳、环壳、双曲抛物面壳、扁壳及各类组合壳体等。若按构造形式分，则有光面壳、加肋壳、夹心壳及多层壳等。按材料性质分，则有各向同性壳、各向异性壳、线性弹性壳、非线性弹性壳及粘弹性壳等。对于线性弹性材料的光面壳，其一般计算理论已经可以总结为薄膜理论及弯曲理论二类。尽管弯曲理论迄今尚无公认的统一形式，但总的说来，各种形式的差别不大。对于各种形状、各种构造的壳体，其计算方法不尽相同。许多加肋壳可折算为各向异性光面壳进行处理；夹心壳及多层壳的理论虽然有一定变化，但仍属于一般理论的范畴，扁壳理论由于有一些简化假设，其理论不很复杂，进展较快，已发展到复合材料非线性理论等。由于各种薄壳形状各异，故分析薄壳问题时常采用位于薄壳中曲面上的正交曲线坐标系，其方向分别为曲面的最大、最小曲率方向，及曲面的法线方向，一般以0-αβγ表示。薄壳内力　在荷载或其他外因作用下，薄壳内所产生的内力可按基尔霍夫假设表示如图所示的10个内力。其中4个为薄膜内力：Nα、Nβ分别是α及β方向的拉（压）力，Nαβ、Nβα分别是α及β为常数截面上的α及β方向的切向剪力。另外6个为弯曲内力：Mα、Mβ分别是α及β为常数的截面上的弯矩，Mαβ、Mβα、Qα、Qβ分别为上述截面上的扭矩及横剪力。全部内力均按单位长度计。薄壳位移　薄壳中面上任一点的位移有表示α及β方向的切向位移u及v，以及中面法线方向的位移w。相应的应变分量有6个：εα、εβ分别为α及β方向的拉(压)应变，εαβ为α-β方向的剪切角，ⅹα、ⅹβ分别为α及β方向的变形曲率。ⅹαβ为α-β方向的变形扭率。基本方程　薄壳问题的基本方程可归纳为：①静力平衡微分方程。对于沿正交曲线坐标切割出的一个体素，可建立6个平衡微分方程，其中三个是沿坐标线切向的力的平衡式(或称投影式)：∑Fα＝0，∑Fβ＝0及∑FΥ＝0。另3个是对3个坐标轴的力矩平衡式：∑Mα=0，∑Mβ＝0，∑MΥ＝0。由于h＜R，可以取Nαβ＝Nβα及Mαβ＝Mβα，因此力矩式中的∑MΥ＝0是一个恒等式，从而在6个平衡方程中，实际上只有5个是有效的。②几何方程。薄壳中面上任一点的应变与位移之间的关系可通过6个几何方程表示。③应变连续性条件。从6个几何方程中，消去其中的位移分量后可建立3个应变连续性条件。它们代表为保证壳体变形后仍维持连续性而要求各应变分量间应满足的关系。④物理方程。共有6个方程表示内力与应变之间的关系，其中联系薄膜内力与薄膜应变的有3个，联系弯曲内力与弯曲变形的有3个。⑤边界条件。在薄壳的每一个边界上有4个边界条件，其中两个是关于薄膜的，另两个是关于弯曲的。薄壳计算　计算内容包括静力强度计算、动力及屈曲问题等的计算。其主要解法有解析法及数值计算法。①静力强度计算。薄壳静力强度问题的解析法有位移法、内力法及混合法。(a)位移法。以薄壳中面位移u、v及w为未知函数。若将6个几何方程代入6个物理方程，消去其中的应变分量，可得出用3个位移分量表示内力的表达式，然后将这些表达式代入三个消去Q的平衡方程式，即得3个仅含未知量u、v及w的静力平衡方程。一般用傅里叶级数展开位移函数代入平衡方程，再考虑边界条件即可求得位移。(b)内力法。以8个内力为未知函数，通过5个平衡微分方程及3个应变连续性条件求解。在扁壳问题中以应力函数φ的导数表示薄膜力，以w表示曲率及扭率再表示弯曲内力，即可将8个方程归并为两个只含φ及w的方程。进一步消去φ或w后，可得出一个8阶2元的控制微分方程，一般也可用傅里叶级数表示其未知函数求解。(c)混合法。以8个内力及3个位移为未知函数，通过5个平衡微分方程及6个物理方程求解。也可以象内力法那样，将这些方程归并成一个8阶2元的控制微分方程求解。薄壳静力强度问题的数值计算方法有差分法及有限元法等。用差分法时须将控制微分方程至少降阶为两个4阶差分方程再进行计算，否则精确度很差。有限元法将壳体离散为一系列单元后用位移法或混合法进行计算。如果方法运用得恰当，可以保证其计算精度，但计算工作量颇大。②薄壳的振动问题及屈曲问题。计算方法有平衡方程法以及与变分法有关的近似法，如能量法、伽辽金法等。解算振动问题时，须先假设一个以振型函数表示的薄壳振动时的位移，然后将它引入壳体的运动微分方程式或能量式，并由此求特征值得其振动频率。同样，求解屈曲问题时，须先假设以屈型函数表示的屈曲时的位移，并将它引入壳体屈曲方程式或能量式，求其特征值得出临界力。薄壳的动力响应问题须通过拉格朗日方程或利用哈密顿原理求解。用有限元法时，可以用运动方程的直接积分法或振型叠加法求解。对于非线性问题，无论是几何的或物理的非线性问题都可以用有限元法求解。壳体计算的发展方向是非基尔霍夫假设的薄壳理论，以及中厚壳或厚壳的大变形问题，粘弹、粘塑、热弹塑等方面的问题。在基础理论及解算方法方面，亦有待于总结和进一步探索。