复射影空间

几何学名词

复射影空间 (complex projective space)是实射影空间概念的推广。若Cm+1是m+1维复矢量空间，在Cm+10，z1，…，zm)~(ω0，ω1，…，ωm)当且仅当存在非零复数λ，使得(z0，z1，…，zm)=λ(ω0，ω1，…，ωm)，则商空间(Cm+1

性质

的上同调群为，其余的上同调群为0。

为CW复形，且对每个q(0≤q≤n)，都有一个2q胞腔。

当q=1,n=1时，，有，设对应生成元为α。

由于为的(2n-2)骨架，有相对上同调群，其余的相对上同调群为0。

当q群同构。

故利用归纳法可得的生成元亦为α，deg(α)=2。

当q

分次环为截尾多项式代数。故当1≤q≤n时，为生成元为αq的自由阿贝尔群。

为紧连通可定向流形。

概念

复射影空间是实射影空间的推广，即复欧几里得空间添加无穷远点构成的空间。添加了无穷远点的复平面称为一维复射影空间，记为，推广到n维，便得到n维复射影空间，其具体构作如下：给定n+1维复欧氏空间Cn+1，考虑子集合Cn+1n+11，z2，…，zn+1)和(w1，w2，…，wn+1)，存在非零复数ρ，使得：

则称此两点互相等价，于是Cn+11，z2，…，zn+1)的等价类为：

所有等价类构成之集合记为，称为n维复射影空间。

在n维复射影空间CP中取出以点(z1，z2，…，zn，1)为代表元素的等价类，这些等价类构成CPn中的子集，其中每个点：

对应C中的点(z1，z2，…，zn

利用Cn+1n之自然投影映射：

用Cn+1

射影空间

射影空间是整体几何最基本的研究对象之一。射影空间的概念最初产生于古典射影几何。对于射影定理中的奇异情形(即有些直线相互平行的情形)，为方便起见引入无穷远点的概念，即规定平面上每条直线上有一个无穷远点，两条直线平行就是相交于无穷远点，所有无穷远点组成一条无穷远直线。这种构造方法还可以推广到高维空间，建立n维(实)射影空间PR。在n维射影空间中常采用齐次坐标(X0∶X1∶…∶Xn)，其中X0，X1，…，Xn不全为0；若a≠0，则(aX0∶aX1∶…∶aXn)与(X0∶X1∶…∶Xn)表示同一个点。因此n维(实)射影空间同构于(R-{0})/R.进一步的研究表明PR是紧致解析流形。若令Ui(0≤i≤n)为PR中坐标Xi≠0的点全体，则UiR，且U0，U1，…，Un组成PR的一个开覆盖。上述构造方法可以推广到任意体K上，建立K上的n维射影空间PK.在概形理论中，还将射影空间建立在整数环Z上，即建立射影概形PZ。由此对任意概形X可以建立PX，它是X和PZ(在Spec Z上)的纤维积。特别地，若X=Spec K(K为域)，则PX=PK。

由于射影空间的性质非常丰富难以全面列举，仅举数例如下：

1.PR同胚于圆，PC可看做添上无穷远点的复平面，同胚于球面。

2.PR是单侧曲面，可以同胚地嵌入四维空间R，但不能同胚地嵌入三维空间R，PC是代数极小曲面。

3.PC是克勒流形，它的闭解析子空间都是代数的。

4.对任意域k，Pk是齐性空间，其切丛由整体向量场生成，其自同构群为射影群PSL(n+1，k)，其皮卡群Pic(Pk)Z。

欧几里得空间

简称欧氏空间。既是几何学的研究对象，又是代数学的研究对象。在几何学中，欧氏空间是满足全部欧几里得公理的几何空间。它的几何是研究几何图形的度量性质和度量不变量的欧几里得几何(简称欧氏几何)，包括普通平面几何和立体几何的全部理论。

欧氏几何空间按维数的不同而有一维欧氏空间(即欧氏直线)、二维欧氏空间(即欧氏平面)和三维欧氏空间(即普通空间，在几何学中也常简称欧氏空间)。在代数学中，欧氏空间是实数域上的一个线性空间，在其中规定了一个称为内积的二元实函数。欧氏线性空间的维数可以是任意的自然数。容易在同维数的欧氏几何空间与欧氏线性空间之间建立直接的联系。在欧氏几何空间中取定一点作为公共的起点，空间每一点就决定一个以该点作为终点的向量。这种向量的全体构成的集合在向量加法和数乘向量的乘法下就是一个线性空间。再以通常向量的数量积作为线性空间中向量的内积，这个线性空间就是一个欧氏线性空间。反之，在线性空间取定基底后，n维线性空间中的向量可以用n元数组作为坐标表示，再把n维欧氏线性空间的向量的坐标看做n维欧氏几何空间中建立了直角坐标系后点的坐标，这样就在n维欧氏线性空间的向量和n维欧氏几何空间的点之间建立了一一对应，并且当取后者的坐标原点作为公共的起点，由后者的每个点作为终点所决定的向量，其坐标正好与前者的对应向量的坐标相同，由其数量积所确定的欧氏线性空间，也与前者完全合一。

总之，按照以上的讨论，在同维数的几何空间和欧氏线性空间之间可以建立一一对应，并在此对应下保持着各自的几何、代数结构。这也是将后来发展的代数体系与先发展的几何体系取同一名称——欧几里得空间的原因。

复欧氏空间

一种特殊的复线性空间。指带非退化对称双线性函数的复线性空间。设V是复数域C上的线性空间，若在V上定义了一个非退化对称双线性函数，则称V为复欧几里得空间，简称复欧氏空间。对n维复欧氏空间V的每一线性变换σ，都存在它的共轭变换σ。在n维复欧氏空间V内总存在标准正交基。若以A，B分别表示它们在给定基下的矩阵，则B=GA′G，这里G是关于给定基的格拉姆矩阵。n维复欧氏空间的线性变换σ是对称(反对称)的充分必要条件是σ关于标准正交基的矩阵是对称(反对称)矩阵。

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