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外延公理

外延性公理

在公理化集合论与使用它的逻辑、数学和计算机科学分支中，外延性公理或外延公理。

形式语言
自然语言描述：
对任意集合P和任意集合Q，如果对任意元素X，X属于P当且仅当X属于Q，那么P等于Q。
内涵：
拥有完全相同元素的两个集合是等同的。
说明：
在ZFC体系中，所有对象默认为集合，但集合的元素是否必须是集合并不会影响到公理化集合论体系。
解释
要理解这个公理，注意上述陈述中方括号内的子句简单的声称了A和B有完全相同的成员。所以，这个公理实际上说的是两个集合相等，当且仅当它们有完全相同的成员。它的本质是：
集合唯一的由它的成员来决定。
外延性公理可以同形式的概括陈述一起使用，这里的P是不提及A或x的任何一元谓词，来定义一个唯一集合A，它的成员完全是满足谓词P的集合。我们可以接着为A引入新的符号；普通数学中的定义，当其陈述简化到纯集合论术语的时候，就会像这样起到定义的作用。
外延性公理一般被认为是无可争议的，它或它的等价公理出现在所有可供选择的集合论的公理化中。但是在某些情况下需要进行适当的修改。
谓词逻辑
上面给出的公理假定等号是谓词逻辑的基本符号。某些公理化集合论的处置不做这个假定，从而把上述陈述不作为公理而是作为对等号的定义。那么必须把来自谓词逻辑的平常的等式公理包含为关于这个被定义的符号的公理。多数等式的公理可以从这个定义得出；余下的一个是
当A=B，A∈D当且仅当B∈D。
或：（代入定义）
当对所有C，C∈A当且仅当C∈B，那么对任意D，A∈D当且仅当B∈D。而它成为在这种情况下的外延性公理。
基本元素
基本元素是自身不是集合的集合元素。在Zermelo-Fraenkel公理中没有基本元素，但在某些其它的集合论的公理化中有它们。在有类型的逻辑中，基本元素可以被当作不同于集合的逻辑类型；在这种情况下，“B∈A”这个式子中，如果A是基本元素，则没有意义，所以外延性公理只适用于集合。
在无类型逻辑中我们可以要求“B∈A”在A是基本元素的时候为假。在这种情况下，平常的外延性公理将使得所有基本元素等于空集，从而互相相等（！）。为了避免这种情况，我们可以修改外延性公理为只适用于非空集合，并把它读为：
给定任何集合A和任何集合B，如果A是非空集合(就是说存在着A的一个成员x)，那么A和B是相等的，当且仅当它们有完全相同的成员。
另一种方法是，在无类型逻辑中可在A是基本元素的时候规定A自身是A的唯一的元素。尽管这个方式可以保持原来的外延性公理，但基础公理却需要调整。
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