多值逻辑

非经典的逻辑系统

多值逻辑是把线序多值逻辑推广到任意格值上去，有多于两个的可能的真值的逻辑演算，其中布尔值逻辑（见逻辑代数）就是一种有趣的多值逻辑。

简介

多值逻辑（many-valued logic）

一种非经典的逻辑系统。在经典逻辑中，每一个命题皆取真假二值之一为值，每一命题或者真或者假。但实际上，一个命题可以不是二值的。命题可以有三值，推而广之，还可以有四值，五值。因此，对每一自然数n，有n值，以至于无穷多值。研究这类命题之间逻辑关系的理论，即为多值逻辑。多值逻辑建立于20世纪20年代初，由卢卡西维茨和美国逻辑学家E.L.波斯特创建。在60年代获得了新的推广，从多值的线序域推广到多值的偏序域，建立了格值逻辑。70年代后，多值逻辑被用于计算机科学和人工智能等方面。多值逻辑和经典逻辑一样，也可以用公理方法系统化，建立演算系统。

多值逻辑是有多于两个的可能的真值的逻辑演算。传统上，逻辑演算是二值的，就是说对于任何命题都只有两个可能的真值，真和假（它一般对应于我们直觉概念的真实和虚假）。但是二值只有一个可以被指派的可能的真值范围，已经开发了一些其它逻辑系统，带有对二值的变异，或带有多于两个可能的真值指派。

在经典的二值方案中，真和假是确定性的值：命题要么是真要么是假（互斥的），并且如果命题没有其中一个值，则根据定义它必定有另一个值。这个理由就是排中律： P ∨ ¬P—也就是说，肯定或它否定总有一个成立。

例如，保持的特性可以是证实性（justification），这是直觉逻辑的基本概念。所以，命题不是真或假；转而，它是证实的或未证实的。证实性和真实性之间的关键区别，在这个场合下，是排中律不成立：非未证实的命题不必然的是证实的；转而，它只是没有被证明是未证实的。关键区别是保持的特性的确定性：你可以证明 P 是证实的，P 是非证实的，或者不能证明任何一个。有效的论证保持跨越变换的证实性，所以从证实的命题推导出来的命题仍是证实的。但是，有些经典逻辑中的证明依赖于排中律；因为在这种方案中不能使用排中律，有些命题就不能用这种方式来证明了。

模糊逻辑。

历史

已知的第一个不完全接受排中律的逻辑学家是亚里士多德（De Interpretatione,ch. Ⅸ），尽管他没有建立一个多值逻辑的系统。排中律是被斯多葛学派哲学家接受的（这个定律可能起源于其中一位，Chrysippus）。直到二十世纪之前，后来的逻辑学家都遵从亚里士多德逻辑，除了接纳了排中律之外。

建立及应用

多值逻辑建立于20世纪20年代初，由卢卡西维茨和美国逻辑学家E.L.波斯特创建。卢卡西维茨在其1920年发表的《论三值逻辑》一文中，建立了一个三值逻辑系统。波斯特在其1921年发表的《初等命题的一般理论》一文中，建立了任意无穷多个值的逻辑系统。该系统对于任意的自然数 n>2，序列 t1，…,tn的每一项都可以取作命题的值，其中t1为真值，tn为假值。20～50年代，许多逻辑学家建立了 n值命题演算与谓词演算的公理系统，并探讨了它们的一致性和完全性问题，同时也研究了多值命题演算与埲值命题演算的子系统问题。多值逻辑在60年代获得了新的推广，从多值的线序域推广到多值的偏序域，建立了格值逻辑。70年代后，多值逻辑被用于计算机科学和人工智能等方面。

命题真值的解释

在多值逻辑中，以数字为代表的命题真值如何解释，逻辑学家中间有不同的解释方法。其中有：①三值逻辑的解释。以 0,1,2表示命题的三个真值，把

0解释为已知真；

1解释为可能真；

2解释为已知假。

②　n值逻辑的解释。以0,1，…，n-1表示命题的n个值，而把

0解释为真；

n-1解释为假；

i(0〈i〈n-1）解释为不同程度的概率1-i/（n-1）。

③　埲（可数无穷多值）逻辑的解释。把

0解释为真；

1解释为假；

m/n，【0<(m/n)<1】解释为不同程度的概率1-(m/n）。

在卢卡西维茨的三值逻辑中，联结词塡，∧，∨，→，凮由以下的直值表定义，其中 t代表真，f代表假，u代表第三个值。

一般说来，若以0,1，…，n为 n+1值逻辑的值，并以0代表真，则各联结词的值可以由下列规定得到。设a、b为A、B的值，则：

① A的值为n-a；

② A∧B的值取a、b中较大者；

③ A∨B的值取a、b中较小者；

④ A→B的值取0，若a>b；取b-a，若a

⑤ A↔B的值取a、b之差。

对于无穷值逻辑，如以单位区间【0,1】中的有理数为值的埲值逻辑，或以单位区间【0,1】中的实数为值的埌值逻辑，联结词的值可以由下列规定得到。设a、b为A、B的值，则：

① 塡A的值为1-a；

② A∧B的值取a、b中的较大者；

③ A∨B的值取a、b中的较小者；

④ A→B的值为0，若b>a；取b-a，若a

⑤ A凮B的值取a、b之差。

公理系统

多值逻辑和经典逻辑一样，也可以用公理方法系统化，建立演算系统。例如，三值逻辑的一个公理系统，其初始符号包括两个联结词塡和→，它有4个公理和一个推理规则：

公理1　A→（B→A）；

公理2　（A→B）→（（B→C）→（A→C））；

公理3　（塡A→塡B)→（B→A）；

公理4　（（A→塡A）→A）→A。

推理规则

为：从A→B和A可以推出B。在该公理系统中，联结词∨，∧和凮通过定义引入，A∨B定义为（A→B）→ B；A∧B定义为塡（塡A∨塡B);A凮B定义为（A→B）∧（B→A）。把多值逻辑系统化，就可以研究这种系统的逻辑特征，如系统的一致性和完全性。这方面的一个结果，是证明了对于大于2的自然数n、m，当m>n且m是n的倍数时，n值逻辑是m值逻辑的真子系统。多值命题逻辑与适当的量词理论结合在一起，就构成多值谓词逻辑。对布尔值逻辑说来，已证明了，经典谓词演算的公理和推理规则在每一布尔值逻辑中都成立。

应用领域

现代逻辑的一个研究领域。在古典逻辑中，一命题只能取“真”、“假”二值之一。故通常称古典逻辑是二值逻辑。如果更一般地来考查一个命题；使其不限于只取“真”、“假”二值，而是可以取三值、四值、任意有限个值，乃至可数无穷多个值，那么，这种多值命题间的逻辑关系的研究就称之为多值逻辑。

多值逻辑的研究，始于20世纪20年代波兰的J.武卡谢维奇和E.L.波斯特的工作。武卡谢维奇为了解决亚里士多德关于未来偶然性的问题，提出了三值逻辑。他认为命题：

“明年12月21日我将在华沙”，

在说这句话时既非真又不假，而只是可能。所以，这样一类命题就可以取三个值：真、假和可能。波斯特与武卡谢维奇不同，他直接假定一命题的取值数目大于2，并建立了任意有穷多个值的逻辑系统，亦即一命题的取值为：t1，t2，…，tm。这里，m是自然数， t1为真，tm为假。其间的t2，…，t，则常有不同的解释方法。后来，J.B.罗塞和A.R.图尔居特等开展了一系列的工作，并建立了种种协调而完全的多值逻辑演算系统。随即对已建立的多值逻辑演算的系统特征，多值逻辑与二值逻辑的关系以及多值逻辑的值的解释等等均作了较广泛而深入的研究，旨在发展多值逻辑的一般理论。其中有些研究，如对命题的值的解释问题，还涉及哲学方面的铨释。

多值逻辑在控制论和计算科学方面也有引人兴味的工作。另外模糊逻辑的诞生是与多值逻辑有密切联系的。

模糊逻辑亦称弗晰逻辑或不分明逻辑，是现代逻辑研究中应用较多的一个领域。1965年美国控制论学者L.A.扎德为了建立研究模型性对象的数学模型引进了模糊集合的概念（见模糊性数学），从而标志着模型数学的诞生。人们把运用取无穷多连续值的模糊集合来研究模糊性的思维、语言形式和规律的学科称为模糊逻辑。所以，模糊逻辑是把模糊集合的概念与方法运用于逻辑的研究。这一研究为描述和处理一类模糊性对象提供了一种有效的逻辑模型。由于模糊集合是以多值（即有穷或可数无穷多连续值）逻辑为依据的，故模糊逻辑与多值逻辑密切相关。它在控制论方面有较多的应用，目前仍在继续研究和发展中。

与经典逻辑的关系

在经典的二值方案中，真和假是确定性的值：命题要么是真要么是假（互斥的），并且如果命题没有其中一个值，则根据定义它必定有另一个值。这个理由就是

在经典的二值方案中，真和假是确定性的值：命题要么是真要么是假（互斥的），并且如果命题没有其中一个值，则根据定义它必定有另一个值。这个理由就是排中律：P∨ ¬P—也就是说，命题或它的否定总有一个成立。

逻辑是跨越各种变换而保持某些命题的特性的系统。在经典逻辑中，这个特性是“真实性”:在有效的论证中，推导出来的命题的真实性由应用保持这个特性的有效步骤来保证。但是，这个特性不是必须是“真实性”特性；它也可以是其他某种特性。

例如，保持的特性可以是“证实性”（justification），这是直觉逻辑的基本概念。所以，命题不是真或假；转而，它是证实的或未证实的。证实性和真实性之间的关键区别，在这个场合下，是排中律不成立：“非”未证实的命题不必然的是证实的；转而，它只是没有被证明是未证实的。关键区别是保持的特性的确定性：你可以证明P是证实的，P是非证实的，或者不能证明任何一个。有效的论证保持跨越变换的证实性，所以从证实的命题推导出来的命题仍是证实的。但是，有些经典逻辑中的证明依赖于排中律；因为在这种方案中不能使用排中律，有些命题就不能用这种方式来证明了。

与模糊逻辑的关系

模糊逻辑。

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