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多元多项式

数学名词

多元多项式(polynomial of several variables )是一元多项式的推广，它是多项式理论研究的重要对象。有限多个单项式之和(假设其中不含同类项)称为n元多项式，简称多项式，n元多项式f中非零单项式的最高次数称为多项式f的次数，记为 deg f。只含零单项式的多项式称为零多项式，记为0，零多项式的次数规定为－∞。

基本知识
相关知识
设K是一个数域， 是几个文字(也可称为变量)， 是非负整数， ，称
为一个单项式(monomial)。某个指数 表示变量 不出现，当所有的指数全部等于0时，相应的单项式就是常数项 ， 称为此单项式的系数，当 ≠0时， 称为此单项式的次数，系数为0的单项式称为零单项式，简记为0，零单项式的次数规定为 ，为了表示方便，常常把单项式(1)中各个字母的方幂看成一个n维向量
称为这个单项式的指数向量。并把单项式(1)简记为 ，又把向量 的分量之和表为 ，于是有(假设 )
显然指数向量的分量都是非负整数，因此有 两个单项式：
如果满足 就被称为同类项，也就是说， 与 是同类项当且仅当它们的指数向量相等，即 。
n元多项式的定义
有限多个单项式之和(假设其中不含同类项)
称为n元多项式，简称多项式，n 元多项式 中非零单项式的最高次数称为多项式 的次数，记为 。只含零单项式的多项式称为零多项式，记为0，零多项式的次数规定为 ，例如若
则 。
有很多时候需要把多元多项式看成其中某一个变量，例如 的一元多项式
这里的系数 都是多项式环 中的元素，我们把 作为某个变量 的一元多项式的次数称为 关于 的次数，记为 。
和一元多项式一样，对于n元多项式也可同样地定义相等、相加、相减和相乘，例如当两个单项式是同类项时，可以通过系数相加而合并成一项：
两个单项式相乘则是把指数向量相加，再把系数相乘:
n元多项式的加法和乘法具有与一元多项式相同的性质，因此把数域K上所有以 为变量的n元多项式的集合记为
并称为数域K上的n元多项式环。
多项式的排序问题
我们要研究单项式的排序问题，对于一元多项式，按各个项的次数来排列是最自然的，但是对于多元多项式，有相同次数的项不止一个，单按次数排列具有不确定性，所以有必要采用字典排列法。为此首先在指数向量的集合内定义一个序：对于 ，如果存在 使得
则称 优于 ，记为 ，例如
从这个定义立即可以看出，对于任意两个不相等的指数向量 ，不是 就是 ，两者必居其一。而且关系“ ”还具有传递性，即从 与 可以得出 ，这说明“ ”确实是指数向量集合的一个序，利用指数向量的序就可以定义单项式的序，即
我们把这个序(包括指数向量的序以及单项式的序)称为字典序(lexicographicorder)。这样就可以把多项式中的项按字典序排列，当n=1时这种排列法就是降幂排列法，多项式中按字典排列法次序最前的非零项称为此多项式的首项。
相关性质
字典排列法的首项有以下性质。
定理1
两个非零多项式的乘积的首项等于这两个多项式的首项的乘积。
证明：设这两个多项式是 ，它们的乘积是 ．设 的首项分别为
它们的乘积等于
乘积多项式h中的任意单项式的指数向量具有 的形式，其中， 分别是 中的单项式的指数向量，因此有
我们要证 ，并且等号成立当且仅当 。首先设 若 ，则一定存在i≤n使得
于是
即 。同理当 时有 因此
而且只要 或 有一个成立，就有 这说明(2)式确是h的首项而且h中没有同类项会和它相消。
推论2
两个非零多项式的乘积仍是非零多项式。
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