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多焦点圆

几何术语

多焦点圆是圆、椭圆、卵圆等各种圆形的概括，通过多焦点圆的性质和图形特征介绍，对圆形有了统一认识。

基本信息
多焦点圆是泛指不同焦点数和不同焦点形状，符合一定规则形成的凸闭合曲线图形的总称，是圆和椭圆概念的扩展。
定义
为.便于对多焦点圆、椭圆和圆的统一描述，引用相关术语。（1）定点：平面内的已知点或固定点。（2）焦点环线：环绕定点一周最短的环形线，用L0表示。（3）焦点多边形：焦点环线形成的几何图形。（4）焦点：焦点多边形顶点的定点。（5）环线：动点与焦点多边形所形成的环形线，用L表示。
有了图1和术语，可以对多焦点圆作初步的描述，把多焦点圆看作是以焦点多边形为“圆心”，环线为“半径”的“圆”。
多焦点圆定义：平面内，与n（n ＞ 0的整数）个定点间形成的环线长为常数的点的轨迹称做多焦点圆。定点间的环线形状称做焦点多边形，顶点称做焦点，焦点多边形是多焦点圆的基本属性。
特征特性
环线比值（k ）
环线长和焦点环线长的比值K为无单位量，是多焦点圆的形状特征和属性的参数。表达式为：
（1.1）
环线长比值（k ）在对称多焦点圆的图形与参数和特征参数分析中，起到重要作用。
多焦点圆的曲线
圆周曲线是由环线和焦点所确定的多条不同的椭圆曲线，通过相切连接形成的凸闭合光滑曲线。选择适合的坐标系，各段椭圆曲线根据参数均可建立对应的椭圆方程，能够对图形作具体分析。
多焦点圆的图形
多焦点圆是有规则的凸闭合曲线图形。环线、焦点数目和形状是多焦点圆的基本参数，确定多焦点圆的图形特征如：图形的大、小；形状的长、扁和对称性等。焦点多边形具有形和量的变化特征，参数的任何一项变化，都会引起图形的相应变化，属于多参数图形。
类型
尽管多焦点圆有多种不同的形状，根据图形特征，分为对称和非对称两类。
对称多焦点圆
焦点多边形为对称几何图形的多焦点圆称为对称多焦点圆。对称多焦点圆具有对称轴，根据对称轴数目进一步分为：
一条对称轴多焦点圆——卵形曲线
焦点多边形为等腰三角形、纺锤形（一条对角线为对称轴，对称边相等的四边形）、等腰梯形和其他具有一条对称轴图形的多焦点圆，图形类似家禽和鸟类卵的形状，称为卵形曲线。规范的卵形曲线称为普通卵圆；具有形成图形内在规律的规范卵形曲线称为标准卵圆。根据焦点形状和数目命名。
两条对称轴多焦点圆——椭圆形曲线
焦点多边形为线形、棱形、长方形、六边形等具有两条对称轴图形的多焦点圆称为椭圆形曲线。规范的椭圆形曲线称为普通椭圆，具有形成图形内在规律的椭圆称为标准椭圆，根据焦点形状和数目命名。
三条及其以上对称轴多焦点圆——多轴圆
焦点为正多边形的多焦点圆有多条对称轴，对称轴数与焦点正多边形的边数相同；重心在中点，类似于圆的圆心，属于规范标准曲线图形，故称为多轴圆，根据正多边形命名。
非对称多焦点圆
焦点多边形为非对称几何图形的多焦点圆，称为非对称多焦点圆。如焦点为任意三角形、任意四边形以及其他没有对称轴多边形的多焦点圆。非对称性多焦点圆图形复杂，没有确定的外部特征，大部分多焦点圆属于这一类。
对称多焦点圆具有独特的外部特征——长、宽和半轴（宽与对称轴交点将对称轴分为上、下不相等的半轴，长的半轴简称为半轴下同），外部特征值称为特征参数。为了方便叙述，把对称多焦点圆简称为多焦点圆（下同）。
作图
根据多焦点圆定义，介绍一种简易的针线作图方法：（1）自制能缩、放的环形线、大头针、直尺和笔。（2）在作图平面上作出已知点或多边形。（3）将大头针分别直立、固定在已知点或多边形的顶点上；（4）将符合长度的环形线套在大头针外，画笔由内向外拉直环线移动一周。
针线作图属于连续移动的基本作图方法，适合圆和椭圆的作图和施工放样，作图软件有待开发。
分析方法
多焦点圆的环线（L）和焦点多边形的参数称为参数；反映图形特征的长、宽和半轴称为特征参数。可以从参数和特征参数两方面，分析多焦点圆的图形特征。
参数分析
根据已知参数值，建立参数与特征参数关系式，对多焦点圆作以下几方面分析：（1）计算对称多焦点圆的特征参数（长、宽、和半轴）。（2）计算周长（近似值）、面积。（3）建立各弧段的椭圆方程。（4）多焦点圆作图。（只有参数方可作图）。（5）多焦点圆的图形设计。
特征参数分析
根据对称多焦点圆的特征参数求解参数，再由所求的参数对多焦点圆作参数分析。由于多焦点圆的参数与特征参数关系的复杂性，难以直接解出参数值。通过建立多焦点圆的参数与特征参数关系式，采用参数模拟计算方法，能够对四个焦点以内的对称多焦点圆的参数求解。
不同环线长、焦点数和焦点多边形的多焦点圆，表现出独特的图形特征。圆、椭圆、卵圆和多轴圆，属于不同对称轴数的对称多焦点圆。应用多焦点圆的原理和方法，将圆形的概念统一起来，使我们对各种圆形有了统一的基本认识。
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