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多重次调和函数

数学术语

在数学中，多重调和函数（有时缩写为psh，plsh或plush函数）形成复杂分析中使用的一类重要函数。 在卡勒廖流形上，多重调和函数形成了次调和函数的一个子集。 然而，与次调和函数（其在黎曼流形上定义）不同，多重调和函数可以在复杂的分析空间中完全一般地定义。

简介
在数学中，多重调和函数（有时缩写为psh，plsh或plush函数）形成复杂分析中使用的一类重要函数。 在卡勒廖流形上，多重调和函数形成了次调和函数的一个子集。 然而，与次调和函数（其在黎曼流形上定义）不同，多重调和函数可以在复杂的分析空间中完全一般地定义。
正式定义
一个函数：
如果它是上半连续的，则域 称为多次调和，并且对于每个复数行
函数 是下面集合中的次调和函数：
完全一般性，这个概念可以在任意的复杂流形或甚至复杂的分析空间X上定义如下。一个上半连续函数
被叫做次调和当且仅当对于任何全息图 ，下面函数是次调和的：
其中 表示单位圆。
可微分的次调和函数
如果f是 类，那么当且仅当隐式矩阵 ，f被称为Levi矩阵，且
是正半定数。
历史
19世纪，清代奥卡和皮埃尔·莱龙（Pierre Lelong）定义了多重调和函数。
属性
（1）一组多重次调和函数在半连续函数的向量空间中形成凸锥，即
如果f是一个多重次调和函数，并且c> 0是一个正实数，那么函数 是多重次调和的；
如果f1和f2是多重次调和函数，那么和f1+f2也是多次调和函数。
（2）多重次调和是一种属性，即当且仅当在每个点附近是多重次调和时，函数是多重次调和的。
（3）如果f是多重次调和的，并且 单调递增的凸函数，那么 是多重次调和的。
（4）如果 是多次递减函数的单调递减序列，那么 是多重次调和的。
（5）可以获得每个连续的多重次调和函数作为平滑多重次调和函数的单调递减序列的极限。此外，该序列可以选择均匀收敛。
（6）通常半连续性条件下的不等式保持相等，即如果f是多重次调和的，那么
（7）适用于任何Kähler度量的次谐波函数都是多重次调和函数。
（8）因此，多重次调和函数满足最大原理，即如果f在连接的开放域D上是多重次调和的，并且
在D中的某些点中，f是常数。
应用
在复杂分析中，多重次调和函数用于描述伪凸区域，全息域和斯坦因歧管域。
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