多项式谱系

计算机术语

计算复杂度理论中，多项式谱系是一个复杂度系列。

简介

计算复杂度理论中，多项式谱系是一个复杂度系列。它从P、NP和反NP复杂度类逐级产生至预言机。它类似于数理逻辑中算数阶层和分析阶层，只不过是由逐级放宽资源限制而产生的。

定义

多项式谱系有数个等价的定义。

（1）用预言机定义多项式谱系。首先定义

其中P是能在多项式时间内解决的决定性问题。然后对所有定义

其中是在有类中某些完备问题的预言机辅助的情况下，能在多项式时间内由图灵机解决的决定性问题的集合。类别也有类似的定义。比如，是一些能在某些NP完全问题预言机的辅助下，在多项式时间内解决的问题的复杂度类。

（2）用存在状态或者全称状态定义多项式谱系。令L为一个语言（或称为决定性问题，即的某个子集），p为某多项式，定义

其中为某种将二进制字符串对x和w编码为一个二进制字符串的标准编码。 L代表一个有序的字符串对的集合，其中第一个字符串x是的元素，而第二个字符串 w是一个足够短的（长度不大于p(|x|)）见证x在内的字符串。换句话说，当且仅当存在足够短的见证字符串w使得。类似地，定义

注意到由德摩根定律得出，其中 Lc是L的补集。令C为一个语言集。延伸这些运算使得它们能够应用于语言集上：

其中P}为所有多项式的集合。同样德摩根定律成立，其中。复杂度类NP和反NP可被定义为, 其中P是所有可行的（多项式时间内的）递归语言。则多项式谱系可被递归定义为

注意。这个定义反映出多项式谱系和算数阶层之间的紧密关系。其中R和RE分别扮演了类似P和NP的角色。算数阶层同样是用一系列的实数子集来定义的。

（3）用交替式图灵机的等价定义。定义（或

计算复杂性理论

计算复杂性理论（Computational complexity theory）是理论计算机科学和数学的一个分支，它致力于将可计算问题根据它们本身的复杂性分类，以及将这些类别联系起来。一个可计算问题被认为是一个原则上可以用计算机解决的问题，亦即这个问题可以用一系列机械的数学步骤解决，例如算法。

如果一个问题的求解需要相当多的资源（无论用什么算法），则被认为是难解的。计算复杂性理论通过引入数学计算模型来研究这些问题以及定量计算解决问题所需的资源（时间和空间），从而将资源的确定方法正式化了。其他复杂性测度同样被运用，比如通信量（应用于通信复杂性），电路中门的数量（应用于电路复杂性）以及中央处理器的数量（应用于并行计算）。计算复杂性理论的一个作用就是确定一个能或不能被计算机求解的问题的所具有的实际限制。

在理论计算机科学领域，与此相关的概念有算法分析和可计算性理论。两者之间一个关键的区别是前者致力于分析用一个确定的算法来求解一个问题所需的资源量，而后者则是在更广泛意义上研究用所有可能的算法来解决相同问题。更精确地说，它尝试将问题分成能或不能在现有的适当受限的资源条件下解决这两类。相应地，在现有资源条件下的限制正是区分计算复杂性理论和可计算性理论的一个重要指标：后者关心的是何种问题原则上可以用算法解决。

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