天体力学定性理论

天体力学名词

天体力学定性理论主要研究天体在长时间（包括趋于无穷）内的运动状态以及轨道在运动方程奇点（无穷大值﹑多值或不定值）附近的性质﹐为庞加莱等人在二十世纪所创立。

理论

长时间是相对的﹐视各种具体情况而定﹐如对于离地面很近的（500公里以下）人造卫星来说﹐几个月就算很长了﹔而对于大行星来说﹐几千年也不算长。由于电子计算机的发展﹐一些定性结论﹐如俘获问题和特殊轨道的存在性等﹐可用数值方法来判定。天体力学定性理论也属于数学中常微分方程定性理论的范畴﹐不少数学家也对此进行过研究。天体力学定性理论与拓扑学、微分方程定性理论紧密联系。这种理论近二十年发展较快﹐主要是针对三体问题﹐大致可归纳为三方面。

用途

一

研究天体在紧密接近时轨道剧烈变化的情况

⒈碰撞问题﹐研究碰撞前后的轨道变化。此时天体间距离趋于零﹐运动方程（分母中有距离的因子）出现奇点。如果能找到一种办法﹐使奇点在运动方程中消去﹐这种过程就称为正规化。到目前为止的研究表明﹕二体碰撞可以正规化﹐碰撞前后的运动状态类似于弹性碰撞。三体碰撞还不能正规化﹐故在讨论三体问题的解时﹐要回避三体碰撞情况（见变换理论）。

⒉俘获和交换问题。若三个天体中有一个天体的轨道原来是双曲线轨道（相对于三个天体的质量中心）﹐在紧密接近后变为椭圆轨道﹐这种情况称为俘获﹔如果另一个天体与此同时从椭圆轨道变成双曲线轨道﹐则称为交换。俘获和交换问题在天体演化研究和人造天体轨道设计中都起著重要作用（见俘获理论）。

二

研究时间趋于无穷时的运动特性

三体问题在时间趋于无穷时﹐有16种运动类型。例如双曲线型（三个天体间的相互距离都与时间t成正比地趋于无穷）﹐有限型或椭圆型（三个天体间的相互距离都是有限的）﹐抛物线型（三个天体间的相互距离都与时间t的2/3次方成正比地趋于无穷）﹐振动型（三个天体间的相互距离既没有界限﹐也不趋于无穷）﹐双曲线-椭圆型（两个天体间距离是有限的﹐另一个天体同它们的距离则趋于无穷）等。

三

研究运动的全局性质

所谓全局是指全部时间范围﹐即从负无穷到正无穷。当时间趋于正无穷时﹐有16种运动类型﹔而时间趋于负无穷时﹐也同样有16种类型。因此﹐从全局看来﹐时间由负无穷到正无穷时﹐可以组合成为16=256种运动类型。如果在时间趋于正负无穷时﹐都至少有一个天体趋于无穷远﹐则相应各种类型运动的条件基本上都已建立。

在有限型的运动中﹐对一些特殊轨道的存在性和稳定性的研究占有重要地位。其中讨论得最多的是周期轨道（轨道是闭曲线）和拟周期轨道（轨道永远在某一个确定的闭曲面上﹐如环面）。周期解理论是由庞加莱等人建立的﹐现已成为天体力学中相对独立的研究领域。拟周期轨道虽然在二十世纪初就已提出﹐但直到六十年代以后﹐才受到重视。卡姆（KAM）理论的重大成果之一﹐就是证明在一定条件下存在拟周期轨道﹐并用它来探讨太阳系的稳定性问题﹐从概率意义上认为太阳系是稳定的。

在运动全局性的研究中﹐三体问题的运动区域问题在七十年代有重大发展﹐美国和中国的天文学家都分别用拓扑学方法解决了一般三体问题流形M 的拓扑结构问题。还有不少人探讨了三体相对运动中的倾角和纬度变化范围。

参考书目

C.L.Siegel and J.K.Moser﹐Lectures on Celestial Mechanics﹐Springer-Verlag﹐Berlin﹐1971.

Y.Hagihara﹐Celestial Mechanics﹐Vol.V﹐MIT Press﹐Cambridge﹐1976.

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