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奇异值

数学概念

奇异值是矩阵里的概念，一般通过奇异值分解定理求得。设A为m*n阶矩阵，q=min(m,n)，A*A的q个非负特征值的算术平方根叫作A的奇异值。奇异值分解是线性代数和矩阵论中一种重要的矩阵分解法，适用于信号处理和统计学等领域。

分解定理
设给定，令并假设
（a）存在酉矩阵与，以及一个对角方阵
使得以及
（b）参数是的按照递减次序排列的非零特征值的正的平方根，它们与的按照递减次序排列的非零特征值的正的平方根是相同的。
定义
在奇异值分解定理中，矩阵的对角元素（即纯量，它们是方阵的对角元素），称为矩阵A的奇异值。A的奇异值由的特征值唯一地决定（等价地说，是由的特征值唯一地决定）。
A的奇异值的重数是作为的特征值的重数，或者，等价地说，也就是的特征值的重数。如果A的一个奇异值是且是(或)的单重特征值，则奇异值称为单重的。
奇异值与秩
矩阵A的秩等于它的非零奇异值的个数，而不小于它的非零特征值的个数。
定理及结论
（1）设，有相同的奇异值
（2）的两个平方的奇异值是：
（3）设给定一个无穷序列，并假设（逐个元素地收敛），又设，设以及分别是A与按非增次序排列的奇异值（对），那么，对每个都有
（4）设，其中，若A是满秩的，当且仅当它的所有奇异值都是正数。
Matlab函数
svd函数是Matlab中对矩阵进行奇异值分解的内置函数，用法如下：
s = svd(A) %返回矩阵A的按降序排列的奇异值
[U,S,V] = svd(A) %对A进行奇异值分解，A = U*S*V'
[U,S,V] = svd(A,'econ')
[U,S,V] = svd(A,0)
应用
奇异值分解法是线性代数和矩阵论中一种重要的矩阵分解法，在信号处理、统计学等领域有重要应用。
下面以在数据分析中的降噪为例。
在现实生活中，我们搜集的数据中总是存在噪声：无论采用的设备多精密，方法有多好，总是会存在一些误差的。由于大的奇异值对应着矩阵中的主要信息，因此可以运用奇异值分解进行数据分析，提取矩阵的主要信息。
假如我们搜集的数据如下所示：
将数据用矩阵的形式表示：
经过奇异值分解后，得到：
由于第一个奇异值远比第二个要大，数据中有包含一些噪声，第二个奇异值在原始矩阵分解相对应的部分可以忽略。经过SVD分解后，保留了主要样本点如图1所示：
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