奇异摄动法

科技术语

奇异摄动方法理论开端于普朗特的边界层理论，是一个丰富的并持续发展的供数学、物理、及其它学科的工作者们探索的领域。现存的解决奇异摄动问题的方法有几种。对于空间域上的问题，有匹配渐近展开法和WKB近似法；对于时间域上的问题，有庞加莱－林德斯泰特方法（Poincare-Lindstedt）、多尺度方法（multiple-scale）、和周期平均方法(periodic averaging)。

发展历史

奇异摄动理论是1892年由H.庞加莱倡导的。奇异摄动法本是一种求微分方程渐进解的方法，最早见于1904Prandtl写的一篇关于求解流体动力附面层问题的论文。后来经过Tikhonov（吉洪诺夫）和他的大弟子Vasileva(瓦西里耶娃)以及瓦西里耶娃的学生布图索夫共同完善。近几十年来，在控制工程方面奇异摄动法的应用研究是一个很活跃的学术领域。

对于无限域含长期项的问题，可对自变量作变换，即采用M.J.莱特希尔提出的变形坐标法；对于最高阶导数项含小参数的边界层型问题，则采用L.普朗特从物理直觉提出的匹配渐近展开法，即将内解与外解按匹配条件对接起来的方法。20世纪50～60年代，这一方法得到了充分发展，其中包括P.A.斯特罗克以及J.D.科尔和J.凯沃基安的多重尺度法，H.克雷洛夫、H.H.博戈留博夫和U.A.米特罗波利斯基的平均法，G.B.威瑟姆的变分法，并形成应用数学的一门新的学科分支。中国和华裔学者对奇异摄动法的发展作出了杰出的贡献，如郭永怀对变形坐标法的推广被钱学森称为PLK法、钱伟长的合成展开法、林家翘的解析特征线法等。奇异摄动法是从事理论研究的重要数学工具之一，对于弱非线性问题的分析甚为有效。该法在基础和应用研究中已被广泛应用于微分方程、轨道力学、非线性振动、固体力学、流体力学、大气动力学、动力海洋学、声学、光学、等离子体物理学、量子力学等领域。

奇异摄动问题

奇异摄动问题是指数学上一个含有小参数的问题，但不能够直接以把小参数设为零来求得所有近似解的问题。在描述奇异摄动问题的方程里，小参数作为系数出现在含有最高阶次方或导数项里，如果按照常规摄动法把小参数设为零，将会导致方程降阶从而不能得到所有的近似解。奇异摄动的来源是这类问题里存在多个尺度。为了求得在每个尺度上的有效近似解，需要将方程用不同尺度规范化以得到新的方程。而新的方程则可以用常规摄动法来求近似解。当一个被摄动的问题的解可以用一个渐近展开来作为问题的整个域上的无论是空间还是时间上的近似解时，这样的情形被称作常规摄动.

通常, 一个常规摄动问题的零阶近似解是通过把小参数 ε 设零来求得。这相当于只取渐近展开的第一项以求得相应的近似解。这个方法不能直接作为第一步来求解一个奇异摄动问题。一个奇异摄动问题发生于当问题里的小参数出现在方程的含有最高阶算子的项的系数里†。因此如果幼稚地把小参数设零会改变问题的本质。对于微分方程，部分边界条件将不能被满足；对于代数方程，解的总数被减少了。

优点特质

研究方向

几何奇异摄动

几何奇异摄动是微分方程几何理论和奇异摄动理论与方法交叉渗透有机结合而产生的一种新的理论与方法，既包含利用微分方程几何理论与方法来研究奇异摄动问题，也包含利用奇异摄动理论与方法来研究动力系统中的问题。

空间对照结构理论

空间对照结构是苏联Thxohob学派在20世纪90年代末提出的概念。空间对照结构也称强反差结构，是指在含小参数的多尺度奇异摄动系统中，退化系统有多个根，而原问题的真解则是由多个根的不同不同部分跳跃而成并产生的复杂结构。

奇异摄动边值问题

低阶微分方程奇异摄动边值问题的研究成果很多，但对三阶和三阶以上的微分方程奇异摄动问题、非线性方程奇异摄动非局部边值问题的研究成果则不多见。

奇异摄动计算方法

近20年来，人们提出各种方法来解决这个问题，其中最著名的的是拟合网格法。目前国外从事奇异摄动计算的学者，主要采用拟合网格法。此外，部分学者提出BVT（boundary value technique）法，即将问题分为边界层区和非边界层区。

奇异摄动控制

奇异摄动控制的主要研究理论有：线性奇异摄动系统的稳定性分析与镇定，奇异摄动系统的最优控制，非线性奇异振动系统，奇异摄动控制系统的能控能观性，鲁棒稳定性，采样系统，变结构控制，双线性系统的最优控制等。