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子图

图论的基本概念

子图是图论的基本概念之一，指节点集和边集分别是某一图的节点集的子集和边集的子集的图。若这个节点子集或边子集是真子集，则称这个子图为真子图；若图G的每一个节点也是它的子图H的节点，则称H是G的支撑子图。设S是V(G)的子集，以S为节点集，以G的所有那些两端点都在S内的边组成边集，所得到的G的子图称为S在G中的导出子图，或更确切地，节点导出子图。设B是E(G)的子集，由G的所有与B内至少有一条边关联的节点组成节点集，以B为边集，所得到的G的子图称为B在G中的边导出子图；对于某种性质P，若一个图的具有P的子图不是任何具有P的子图的真子图，则称它为具有P的极大子图，在所有极大子图中，边数最多的那个称为最大子图。

基础知识
子图的定义
设 为两个图（同为无向图或同为有向图），若 且 ，则称G'是G的子图，G是G‘的母图，记作 ，又若 且 ，则G'称是G的真子图，若 ，则称G'是G的生成子图。
设 为一图， 且 ,称以 为顶点集，以G中两个端点都在 中的边组成边集 的图为G的 导出子图，记作 ，又设 且 ，称以 为边集，以 中边关联的顶点为顶点集 的图为G的 导出的子图，记作。
在图1中，设G如图1(a)所示，取 ，则 的导出子图 如图1(b)所示，取 ，则 的导出子图 如图1(c)所示。
补图
设 为n阶无向简单图，以V为顶点集，以所有使G成为完全图的 的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作。
若图 ，则称G是自补图。
图2（b）和图2（c）互为补图，图2（a）是自补图。
相关定理
若n阶图G是自补图，则或，k为非负整数，且图G有条边。
证明：因为n阶图G是自补图，所以G与同构。于是完全图的条边将各有一半为G与的边，即G与均有条边。而图G的边数是非负整数，故4一定能整除，而连续的两个整数n-1与n总是一个为奇数，一个为偶数，故或（k为非负整数）。证毕。
图的操作
设为无向图。
(1)设，用表示从G中去掉边e，称为删除边e。又设，用表示从G中删除E'中的所有边，称为删除E'。
(2)设，用表示从G中去掉v及所关联的一切边，称为删除顶点v，又设，用表示从G中删除中的所有边，称为删除V'。
(3)设边，用表示从G中删除e后，将e的两个端点u，v用一个新的顶点w（或用u或用v充当w）代替，使w关联e以外u，v关联的所有边，称为边e的收缩。
(4)设（u，v可能相邻，也可能不相邻），用（或）表示在u，v之间加一条边，称为加新边。
在收缩边和加新边过程中可能产生环和平行边。
在下图中，设图4(a)图为G，则图4(b)图为，图4(c)图为，图4(d)图为，图4(e)图为，而图4图为。
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